悟向量四通法 破高考八方题*

(浙江师范大学附属中学，浙江 金华 321004)

1 向量的特点

向量是几何与代数交汇的数学知识，融“数”“形”于一体[1].一方面向量有大小、坐标表示、数量积等代数特征；另一方面向量有图形、方向、夹角等几何特征.向量广泛运用于函数、不等式、立体几何、解析几何等，在处理长度、角度、位置关系等问题中具明显优势.向量是数形结合的有效工具，当向量问题无法直接处理时，通常可转化为数或形使问题变得简洁明了.因此，向量问题蕴含“数形结合”“转化化归”思想，有利于提升学生直观想象、数学运算、数学抽象等核心素养，有利于培养学生良好的思维品质.

先从运算说起，设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中x1，x2，y1，y2∈R,则相关运算如表1所示.

表1 向量的相关运算

向量的多种运算启示我们，在处理向量问题时可使用直接法、数形结合(图解法)、坐标法、基向量法等方法.

图1

2 问题展示

(2019年浙江省数学高考试题第17题)

此题的特点：1)形式复杂但运算单一，全为数乘向量，λi只有两个值；2)图1为边长是1的正方形，虽简约但各边和对角线同时出现，分量重.

思路1向量太多，可否变得集中些？

考虑用基向量法：

图2

思路2正方形ABCD比较适合通过建系进行坐标运算，采用坐标法.

接下去与思路1相同.

3 各显神通

为凸显各法的特点以及使用条件，笔者将2019年全国高考卷中所有向量考题一一归类，辅以部分历年有代表性的高考题，通过分析各种题型特征，为求解向量问题快速找到突破办法.

3.1 直接法

例2已知向量a=(-4，3)，b=(6，m)，且a⊥b，则m=______.

(2019年北京市数学高考文科试题第9题)

分析因为a⊥b，所以a·b=-4×6+3×m=0，得m=8.向量a，b的坐标已知，故可直接利用数量积公式运算.

例3已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a-b)⊥b，则a与b的夹角为

( )

(2019年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第7题、文科试题第8题)

分析此题涉及的知识点有：1)b2=|b|2；2)(a-b)⊥b，则(a-b)·b=0；3)向量的夹角公式．

以上知识均属《2019年普通高等学校招生全国统一考试说明》中的“掌握”内容，因此该题无需数形结合或者转化为坐标，属直接法．

类似的考题还有：

例4已知向量a=(2,2)，b=(-8,6)，则cos=______.

(2019年全国数学高考卷Ⅲ文科试题第13题)

(2019年全国数学高考卷Ⅲ理科试题第13题)

例6已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=

( )

(2019年全国数学高考卷Ⅱ文科试题第3题)

( )

A．-3 B．-2 C．2 D．3

(2019年全国数学高考卷Ⅱ理科试题第3题)

3.2 数形结合

( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

(2019年北京市数学高考理科试题第7题)

图3

( )

(2018年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第6题)

例10已知平面向量a，b(其中a≠0，a≠b)满足|b|=1，且a与b-a的夹角为120°，则|a|的取值范围是______．

(2010年浙江省数学高考理科试题第16题)

此外，采用数形结合法解决的向量问题中部分还可以使用“投影法”或“等值线法”快速解决．

3.2.1 投影法

( )

图4

(2016年天津市数学高考理科试题第7题)

3.2.2 等值线法

( )

图5 图6

(2017年全国数学高考卷Ⅲ理科试题第12题)

共线定理中的3个向量的特点是同起点，若具备λ+μ=1，则3个向量的终点共线，因为只要点A在直线BC上，均有λ+μ=1，所以直线BC可称为λ+μ的等值线．若点A在另一条与BC平行的直线上运动，则λ+μ的值也保持不变．

3.2.3 坐标法

2019年数学高考题中需转化为坐标法求解的考题不多，天津卷第14题可以用坐标法解决.这里再列举几个历年考题．

图7

( )

(2018年天津市数学高考理科试题第8题)

此题中有AB⊥BC，AD⊥CD，垂直是建系的一种“暗号”，提醒我们如果直接法或者图形运算不能做出来的时候，可以通过建系转化为坐标运算，再转化为代数问题．

历年高考卷中可用坐标法解决的考题还有：

( )

(2018年浙江省数学高考试题第9题)

( )

(2017年全国数学高考卷Ⅱ理科试题第7题)

图8

3.2.4 基向量法

(2019年江苏省数学高考试题第12题)

当一个考题中向量个数多显得“杂乱”时，可选取适当的基底，将所有向量转化为基底表示，最后变为两个向量的问题，进行“瘦身”运动.

可用基向量法解决的考题还有：

(2019年天津市数学高考文、理科试题第14题)

(2012年浙江省数学高考理科试题第12题)

向量的多种运算形式已在前面详细说明，下面对各种解法适用的特征做简单小结：

1)不管涉及向量的字母运算、图形运算还是坐标运算，凡是在求模、夹角、数量积中可由题中条件直接得出结果，不需要另外建系、画图或者分解之类的，都属于直接法．

2)图形语言描述向量问题可使问题变得直观，如a·b=0表达垂直，|a-b|=1表达两点间距离，|a|=1且a·b=1，则表达投影.以上信息，均可用向量的图形语言表达，有时“取值范围”的问题用图形运算特别合适，体现“数形结合”法的优势．

3)坐标法与图形语言不同，坐标法是将向量问题转化为代数问题处理，使用坐标法得先判断建系与向量的坐标表示是否便捷．

4)问题中出现多个不同向量时，可选取适当的基底，将所有向量用基底表示，进行“瘦身”运动，最后变为两个向量的问题.

当然，很多时候，光靠某一种解法可能还不够，可将以上方法综合应用，如文中例1需要数形结合、直接法、坐标法等多种方法结合才能解决.

4 教学建议

向量问题中蕴涵丰富的数学思想、方法，是认识数学本质、发展核心素养、培养数学思维、提高四基四能的重要载体.因为向量问题表达抽象、方法灵活，所以很多学生都畏惧.但通览近几年的向量问题，均可用上述方法解决，说明向量问题有章法可循，因此笔者提供的教学建议是：1)要求学生掌握向量的3种运算，熟记平行、垂直的向量表达公式，这是基础；2)教学时应引导学生深入理解向量的特征，从符号语言、图形语言、坐标语言等角度分析向量问题，及时归类和巩固，培养学生一题多解、多题一解的能力，进而掌握以上4种通法.