平均分的策略与除法竖式的关联性思考

李霞

大家知道，分与合是小学数学内容中重要的一对关系，把几个相同加数合起来就成为乘法，而将一个数量分为几个相同的部分，这就是平均数，就成为了除法。因此，小学数学非常重视“平均分”概念的教学。

另外，大家也非常明白，除法竖式是计算除法的一种重要的方法，而方法的学习、理解离不开概念与原理。由此可知，除法竖式与平均分概念之间必然存在关联，那么这种关联在实际中得到体现了吗？体现了多少呢？这就是本文所要探讨的问题。

一、平均分概念地位突出，对平均分的策略（操作过程）学习同样重视

国内现行的几套教材，基本上都独立安排了“分一分与除法”这样一个课时，目的就是先学习掌握平均分概念，为学习除法打下基础;另外，教材中也特别重视平均分策略的学习，即如何做到平均分。下面笔者以人教版教材二下第9页为例（具体材料可见教材）。

从教材里，我们看到编者为引导平均分策略学习提出了三个问题“可以一个一个的分”“也可以先每份分2个”“还可以怎样平均分呢？”实现平均分策略（操作过程）的多样化。

事实上，以操作的次数为分类标准，我个人认为，可以将平均分策略（操作过程）分成两类，一次分尽的平均分和多次分尽的平均分。

二、平均分策略（操作过程）多样化的学习，是否必要，效果如何

依据笔者的认识及多年的教学经验，我个人认为：

1.平均分策略（操作过程）多样化的学习对平均分概念的理解是应有之义

“平均分”是一个操作性的概念，它与操作活动紧密结合在一起，要深刻理解“平均分”，不仅需要图式表征、语言刻画，还离不开动作表征。因此，突出平均分策略的多样化，就是深刻理解“平均分”概念的应有之义。

2.在平均分策略（操作过程）多样化的学习时，教师刻意，学生无意

笔者自己多次教学过平均分这节课，也多次听过这节课，如“把15个苹果平均分成5份，求每份”，学生往往是直接报出结果“3个”，教师追问“你是怎样得出每份3個的呢？”学生的直接回答就是“三五十五”。于是，教师只有通过讲授的方法，与学生一起体会、了解、学习平均分策略（操作过程）的各种不同方法。

3.平均分策略（操作过程）多样化习得后效能低下

正如前面已经讲过，平均分策略（操作过程）多样化的学习只是为理解平均分服务，对后面学习的除法内容没有起到积极的作用。请大家看15÷5，42÷2这两个除法计算，不管15÷5这个除法竖式，还是第二个除法竖式，学生都是采用一次分尽的策略解决的，没有考虑多次分尽的情况。

到此，我们要思考的问题就非常清晰，一次分尽的平均分成为除法竖式学习的基础，多次分尽的平均分没有很好地成为除法竖式的学习基础。那么，大家肯定要问：多次分尽的平均分对除法学习没有作用吗？如果有用，它的作用体现在什么时候呢？

三、多次分尽的平均分策略，何时能体现出它的价值

随着学生学习内容的加深，当学习除数是两位数的除法时，多次分尽的平均分策略才会体现出它的价值。原因是随着学习内容难度的加大，学生学习掌握的情况出现了分化，有些好的学生计算能力比较强，试商比较快，而且精准;而一些计算能力差的学生，则会试商慢，有的甚至无法找到商，学习兴趣下降。以80÷27为例：

从上面的例子可以知道，学生做一道题目实际上调整了两次，橡皮也用了两次，因此，有经验的教师往往会告诉学生，在计算除数是两位数的计算时，要求使用铅笔，这样方便更改。如此复杂的过程，难怪学生讨厌，掌握不好。其中的原因就是这种竖式要求学生一次分尽，不多不少。

而如果采用多次分尽，这样的难题就不会太难了，同时也加深了除法意义的理解。见下图：

四、总结

1.平均分策略（操作过程）的学习、掌握直接影响学生对除法意义的理解。平均分是除法学习的基础，也是分数内容学习的基础，分、怎么分、平均分是小学数学最核心的概念之一。

2.平均分策略（操作过程）的学习对除法竖式的使用、学生计算技能的形成起到了积极的作用。从上面的分析，我们知道一次分尽和多次分尽都是除法竖式最直接的“原型”，对学生理解、掌握竖式计算具有直接的影响;另外允许学生存在多样化的竖式表达，也是尊重学生实际，有效降低学习难度，分散学习难点的有效策略。

3.平均分策略（操作过程）的学习是因材施教的具体体现。学生的学习能力各不相同，有的学生计算快，能较快实现试商的简化，而有的学生擅长多次、有步骤地分，注重过程化的除法图式理解，如此多次分尽的平均分策略就是他们的最佳选择。俗话说：方法没有好差，适合就是道理，理解才是关键。

？誗编辑 张佳琪