Laplace方程边值问题的五点差分格式

支越

(中国传媒大学信息科学与技术学部，北京 100024)

1 引言

这里δ(x，y)≥0。

若边界Γ上不同部分满足不同类型的边界条件，则为混合边值问题。假设α(x，y)，β(x，y)，γ(x，y)，δ(x，y)为定义在边界Γ上的光滑函数。

本文用五点差分格式建立Laplace方程边值问题的差分方程组，具体步骤如下：

(1)将区域Ω进行网格剖分。

(2)对区域Ω上的内点建立差分格式。

(3)对区域Ω上边界条件的处理。

为简便讨论，取区域Ω为正方形区域进行均匀正方形网格剖分。

2 在差商代替导数的方法下建立差分格式

2.1 区域Ω上内点的差分格式

对内网格点(i，j)，1≤i≤N-1，1≤j≤N-1，有(N-1)×(N-1)个内点。

内点列出的差分格式：-(ui，j+1+ui，j-1+ui+1，j+ui-1，j-4ui，j)=0。

2.2 区域Ω上的边界条件的处理

对于第一类边界条件，u(x，y)=α(x，y)，∀(x，y)∈Γ，将uij=αij直接代入差分方程中 。

对于第二、三类边界条件，在正方形区域Ω四个边界外侧的一个步长h处，各增设一排虚网点，用中心差商逼近边界条件中的法向导数，在四个边界点上单独列出差分方程。

例如，在左边界(0，j)(0≤j≤N)的左侧增设(-1，j)(0≤j≤N)，用中心差商逼近边界条件中的法向导数

通过在左边界增设一排虚网点，以(0，j)为内点建立五点差分格式，与内点(i，j)列出的差分格式联立，从而消去了虚网点(-1，j)上的未知量u-1，j。

根据上述方法，以Laplace方程的第二边值问题为例，列出其在上、下、左、右边界的差分格式。

下边界差分格式：-2ui，1-ui+1，0-ui-1，0+4ui0=2hβi0，i=1，2，…，N-1

上边界差分格式：-2ui，N-1-ui+1，N-ui-1，N+4uiN=2hβiN，i=1，2，…，N-1

左边界差分格式：-2u1，j-u0，j+1-u0，j-1+4u0j=2hβ0j，j=1，2，…，N-1

右边界差分格式：-2uN-1，j-uN，j+1-uN，j-1+4uNj=2hβNj，j=1，2，…，N-1

角点(0，0)，需要用到左侧的虚网点(-1，0)和下侧的虚网点(0，-1)，由左边界、下边界和内点的差分格式联立，消去未知量u-1，0和u0，-1，(0，N)，(N，0)和(N，N)类似处理。

角点(0，0)，-u1，0-u0，1+2u00=2hβ00

角点(0，N)，-u0，N-1-u1，N+2u0N=2hβ0N

角点(N，0)，-uN，1-uN-1，0+2uN0=2hβN0

角点(N，N)，-uN，N-1-uN-1，N+2uNN=2hβNN

3 在积分插值法下建立差分格式

3.1 区域Ω上内点的差分格式

对内网格点(i，j)，1≤i≤N-1，1≤j≤N-1，区域Di，j为：

对区域Di，j分段积分得-([u]i，j+1+[u]i，j-1+[u]i+1，j+[u]i-1，j-4[u]i，j)≈0。

3.2 区域Ω上的边界条件的处理

得-[u]1，0-[u]0，1+2[u]0，0≈2hβ00。

4 差分方程组

Laplace方程第二边值问题的差分方程组如下：

5 结论

本文用差商代替导数的方法与积分插值法，对Laplace方程第二边值问题建立了五点差分格式。对边界条件的处理上，通过增设虚网点，用中心差商逼近法向导数，但这种方法是不严谨的，因为Laplace方程在边界点上五点差分格式不一定成立。不过实际应用方便，它列出的边界点差分格式与积分插值法是一致的。积分插值法的优越性是容易在边界点上建立差分格式，选定积分区域，进行分段积分，这避免了在边界上逼近法向导数，这样处理既方便又减少误差，特别是当边界不平行于坐标轴时，更显其优越性。