结合学生反馈 落实课堂训练

摘 要：数学技能的习得也应在学生头脑中建立起前后动作相继发生的动作经验链索。真正有效的教学应该是自然而然的。因此，如何在课堂中落实课堂训练，也应基于学生原有的知识水平，以及学生在当下给出的问题反馈。因此课堂中如何能够根据学生实际及当下的反馈进行针对性教学，使得课堂练习更有实效。

关键词：分类计数原理;分步计数原理;解题方法;解题能力

新课程理念重视数学的“四基”“四能”，因此研究数学教学，课堂活动的研究是必不可少的。针对现有的考试制度，研究解题方法、解题技巧，及解题能力提升等都是非常必要的。

数学知识是由数学认知活动建立起来的认知经验，其中经验反作用于活动，而且对数学活动的目标的确认依赖于当前数学情景的辨认和分析;数学技能的习得也应在学生头脑中建立起前后动作相继发生的动作经验链索。根据建构主义教学原理，真正有效的教学应该是自然而然的。因此，如何在课堂中落实课堂训练，也应基于学生原有的知识水平，以及学生在当下给出的问题反馈。因此课堂中如何能够根据学生实际及当下的反馈进行针对性教学，使得课堂练习更有实效。笔者以“分类计数原理与分步计数原理”课堂解题教学学为例与大家探讨交流。

一、 教学过程介绍

说明 本课是人教A版选修2-3第一章第一节课的内容，学生之前对于此类计数问题的解题基本都是在“数而计之”的程度。因此“算而计之”对于学生来说需要打破原有的一些认知。针对学生学习背景及本课特点，这节课解题技巧方法的掌握、解题能力提升的落实有一定难度。

这节课通过结合实例，学生很快懂了两个计数原理。

（一） “我懂了，但我不会用”

两种计数原理的理解是较容易被学生接受的，但是怎么样是“完成一件事情”，如何进行“分类”和“分步”是学生遇到的第一个难题。

（1）从甲、乙、丙、丁四名同学中，任选出两名同学分别去参加学校的书法比赛和现场作文比赛，问有几种可能的选择出现？

【教學片段】

师：请同学们说说看，是怎么求出来的？

生1：只需要一一例举出来即可。甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，共12种。

生2：画图

师：你们回答得很好（树型图板演）。那么能不能请同学们在列举出的答案中，找一下你答案的规律或是共性？

生1：6×2。

生2：3×4。

师：请同学解释一下得出的式子的意义。

生：有6种跟另外6种是前后顺序不同。

师：很好，还有呢？

生：甲对应3种，同理乙、丙、丁都对应3种。

师：很好！这种解释是对12种结果做了什么处理？

生：分类！

师：我们刚才在学习两种计数原理的时候明明说，分类用加法，而且分步用乘法的，为什么出现这种情况？

生：应该是3+3+3+3=3×4

师：这位同学解释得很好，这就是我们说的分类加法的原理。既然此题出现3×4的乘法，是不是也可以请同学用乘法的分步原理解释呢？请同学们思考一下。

生：……

师：分步计数原理是为了完成一件事情，那么在这个题目中，怎么样是算完成一件事情？

生：选出两名同学参加比赛。

师：不错，完成这件事如何分步呢？

生：选出1名参加书法比赛，再选1名参加现场作文比赛。

生：哦，所以是4×3。

师：可不可以从每一种情况具有的结构共性切入思考呢？

生：每一种都是两人。

生：完成这件事情，第一人有4种选择，第二人有3种选择。

师：总结一下刚才同学们对这个3×4的解释，我们应该怎么样把分类计数原理与分步计数原理用起来呢？

师生：可以从被选每一个对象考虑进行分类，也可以从做事情的顺序进行分步，还可以分析每种可能性的结构特点分析，进行分步，等等。

点评：G·波里亚在《怎样解题》一文中提出，解题的价值不是答案本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的”“是什么促使你这样想，这样做的”。根据学生在课堂中的反馈，顺势而为，找到学生只懂不会的根源。这也正是本节课的一个难点。并且在解题过程中，让学生学会寻根溯源，找到解题方法的来源，据此总结一些解题的切入口。

（二） “我觉得我应该对了，但怎么还是错了”

一个题感觉自己会做了，但是总是做错，归其原因，大概有以下几种：推理、计算差错失误;知识积累不足，导致题意理解有误;考虑不周，导致漏解或重复计算等。

（2）已知集合A={1，2，3，4，5}，集合B={4，8}

①从集合A到集合B的映射有多少种？

②能构成多少个以A为定义域，以B为值域的函数？

此题学生在解答中大部分学生觉得不可理解，为什么①②不是同解。究其原因，学生对映射及函数中的一些概念有些模糊。

【教学片段】

师：在函数对应关系中，值域是如何来的？

有学生反应过来，但还是有很多同学一脸茫然。

师：函数的值域应该是集合B中，根据对应关系被对应的元素即函数值组成的集合，它应该是集合B的子集。因此出错的同学，是因为对函数的值域概念理解不够全面。

（3）将3种作物种植在如图所示5块试验田中，每块试验田种植一种作物，且相邻试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法有几种？

【教学片段】

生1：这就是涂色问题。按涂色问题的方法分步解决：3×2×2×2×2=48种。

生2：按涂色问题常用的特殊元素分类，特殊位先排：

中间第3个先排，再按2，4同色与不同色两类进行分类。

第一类：（2，4同色）3×2×1×2×2=24;第二类：（2，4不同色）3×2×1×2×2=24。因此得到答案也是48。

师：几种方法做下来的答案是一样的，我们同学应该很肯定这个答案，但此题的正解答案是42，同学们思考一下自己的做法到底哪里有漏洞呢？我们可以假设实际情况进行检验。

第一种做法：按1～4的顺序种植时，存在这样的可能性

第2个类型中第4、5就会存在

这种情况就会不满足种植3种作物这一题意。你能在此基础上作出改进吗？

生：减去两种作物的情形即可48-3×2=42。

师：法2是否也能做出调整呢？

生：

第一类：（2，4同色）3×2×1×3=18;第二类：（2，4不同色）3×2×1×2×2=24。因此得到答案是42。

师：看来我们平时在做题时除了有思想方法作指导还得思考得更为严密，对知识的掌握更加准确。

波里亚说：教师最重要的任务是帮助学生。我认为一堂课中对学生的帮助不仅仅需要知识性的传授和技能性的习得，更为重要的是学生的一种态度：追求真理，百折不挠，严谨细致等。

（三） “我已经做对了，还需要别的方法吗”

（4）自然数72有多少个约数？

【教学片段】

生：12个。

师：请得出此答案的同学说说你的解答思路。

生：一一列举出。

师：自然数2520有多个约数？生1你也用同样的方法可以解答？

生1：可以，但是要花更多时间去完成。

师：那可不可以对此算法进行改进呢？

生2：取不大于2520的最大正整数50，然后数出50的约数，再乘以2得到约数的个数。

师：你真的太聪明了，竟然想到用开根号的方法解决了2520这个数太大的问题，并找到了约数存在某种对称的特点。不过在求50约数时用的方法还是“数而计之”。可否用计数原理的方法解答此问题呢？思考的方向又该是如何？

师：寻根溯源，我们能不能思考一下，72的约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72每一个约数都有怎么样的共性特征，如何构成一个约数？

生：都是2或是3的倍数。

师：（引导学生）将72=23·32，约数可以看成两数乘积，即2的几次幂与3的几次幂积的形式。

生：哦，用最小质数的幂分解72，就可以找到每个约数的构成。

师：不错。“（第1个数）×（第2个数）=约数”第1个数的可能性由2的指数可能构成：0，1，2，3;第2个数的可能性由3的指数可能构成：0，1，2。故此题可以用4×3=12解决。

（5）已知集合S={a1，a2，a3，…，an}，则集合S有几个子集？

生：2n个，我们早就会了。

师：那你们知道为什么是2n个？

生：（议论）

师：是否也可以寻根溯源，找一找每个元素与集合的子集间的关系？

生：哦，每个元素与每个子集间的关系，只有属于和不属于两种关系，因此用分步计数原理就可以得出。

（6）用5张1元币，4张1角币，1张5分币和2张2分币可以组成多种非零币值？

生：也一样可以用币值的构成来做。

师：举一反三，触类旁通，可见我们同学非常善于学习、总结。

点评：“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？”有时候点滴的发现能帮助我们解决不少问题。善于观察、分析，善于比较类比，善于归纳总结、概括应用，这是我们学习数学的一般规律，也是获取新知的有效手段。也正是我们学习的数学解题的一种思维训练。

二、 总结反思

针对本课易懂难做的特点，在课堂中习题训练需要学生逐步掌握分类计数原理与分步计数原理的应用，提炼解题方法策略，训练培养学生解题能力，需要教师根据课堂中学生懂而不会，会而有误，会而不全，方法会但不通用等情况反馈的情况，选择顺势而为，适当提示还是类比演示等方法做出帮助，使得知识和技能的习得能归源，能触类旁通，使得课堂练习落到实处。

参考文献：

[1]张奠宙.中国数学双基教学[M].上海：上海教育出版社，2006.

[2]G·波里亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.

[3]陈延付.再谈“好的例题教学是照亮学生解题的灯塔”[J].数学通报，2017，56（10）：56-57.

[4]龚辉.在解题中促进学生学会研究的教学实践[J].数学通报，2017，56（12）：47-49.

[5]徐小建.“高立意，低起点”让曲高也能和众[J].数学通报，2017，56（11）：40-43.

作者简介：

刘智敏，浙江省义烏市，义乌三中。