“数”说足球

刘伟

被誉为“世界第一运动”的足球是全球体育界最具影响力的单项体育运动。在各个年龄阶段都有为足球痴狂的人。足球不但好玩，而且还包含了很多有趣的数学知识，就让我们一起来看一下吧！

“拼”足球

足球虽然叫作球，但其实它并不是一个规则的圆球体，如果我们仔细观察就可以发现，足球是由正五边形和正六边形拼接而成的多面体，其中正五边形有12个，为黑色;正六边形有20个，为白色。每个正五边形都与正六边形相邻;每两个相邻的正多边形有一条公共边;每个顶点处都有3个正多边形，而且都遵循一黑二白的规律，即正五边形的每一条边都与正六边形的边相邻，而每个正六边形都有3条边与正五边形的边相邻，另3条边与正六边形的边相邻，如果在不知道正五边形和正六边形个数的情况下，我们怎么根据这些条件来得知它们的个数呢？其实我们可以用方程来求解这个问题。

设正六边形有个，则正五边形有个，每个正六边形有6条边，共6条边，因每个正六边形有3条边和正五边形相邻，故正五边形共有3条边，由题意列出方程组，解得，则。这样就计算出一个足球有正六边形20个，有正五边形12个。

通过上面的知识我们发现，足球并不是一个严格意义上的球体，它的构成并不像表面看上去那么简单，而是包含了有趣的数学知识。

当足球内部充满气体时，如果内部气体体积的数值与它的表面积的数值相等，那么你可以算出这个球的直径是多少吗？

由于足球是一个不规则的球体，我们无法利用球体的体积和表面积计算公式直接求解，那我们又该如何解决这个问题呢？现在我们可以转变一下思维方式，在不求解足球的体积、白色和黑色正多边形的面积的情况下，直接用文字或字母表示，即设而不求，这种方法在解决数学问题时经常会起到事半功倍的效果。下面我们用这种方法来计算足球的直径。因为足球表面是由32个小正多边形拼接而成的，所以可以将足球这个不规则的球体看成是由32个小棱锥拼接而成，再借助棱锥体积来求解足球的直径。

我们知道棱锥的体积为底面积×高÷3，那么足球的体积就是32个小棱锥的体积之和。应该注意的是，这里的高其实就是足球的半径。那么足球体积计算公式就是：足球体积=足球表面积×半径÷3。而此时足球体积的数值又等于足球表面积的数值，带入上式得到：足球表面积=足球表面积×半径÷3，我们假设单位为英寸（1英寸=2.54厘米），于是就可以得到足球的半径为3英寸，进而得到足球的直径为6英寸。

通过这个例子我们可以发现设而不求在数学问题求解中的作用，因此，在遇到比较困难的问题时，如果正面求解较难的话，我们可以试着从其他角度来求解，巧妙地将问题进行转换。

不懂数学，还想进球？

在足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用吊射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）。一般来说，吊射战术中足球的轨迹往往是一条抛物线。球艺高超的球员，会选择合适的位置进行吊射，使球高高地越过守门员的头顶，但又不至于飞得过高而超过球门。下面我们通过一个例子来说明。

一位球员在离对方球门30米处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度32/3米，已知球门的高度为2.44米，那么球是否会进球门？如果守门员站在距离球门2米处，而守门员跳起后最高能达到2.75米的高度，那么他能否在空中截住这次吊射？

要想解决这个问题，需要用到一元二次函数的知识，因为一元二次函数的图像就是一条抛物线。要想求出一元二次函数的解析式，则需要根据实际问题建立平面直角坐标系，从而使问题得到解决。

首先，以球门底部作为坐标原点，建立坐标系，这样的话，足球的轨迹，也就是抛物线经过（30，0），且顶点为（14，32/3），根据一元二次函数的知识可求得抛物线的解析式：，此时将代入函數解析式，可以得到。可见此时足球距离地面的高度已经超过了球门的高度，足球不会射入球门中。算到这里，大家可能就明白为何以球门底部作为坐标原点建立坐标系了，因为当时，很容易算出结果。

当守门员站在距离球门2米处时，守门员跳起后最高能达到2.75米的高度，将代入，可得到，可以看出，足球距离地面的高度高于守门员跳起的高度，因此守门员无法截住这次吊球。

由此可见，足球运动员若想取得较好的成绩，也不是光靠体育训练就能够达到的，他们需要对足球运动中蕴含的数学知识有所了解，做一个懂数学的足球运动员。

综上所述，足球和足球运动都蕴含了十分丰富的数学知识，看似靠运气的足球比赛，实则蕴含着一定的科学知识。看来，数学真的是无处不在，并时刻散发着智慧的魅力。

（责任编辑/江盼  美术编辑/胡美岩）