毒品滥用流行病模型的稳定性分析

刘风

摘 要：现有毒品滥用流行病模型假设吸毒者康复后对毒品拥有永久“免疫”力，而忽视了其再次成为毒品易感者的可能性。针对这一问题，通过考虑社区治疗和隔离治疗两种措施，分析了毒品滥用人群的演化过程，提出了基于暂时“免疫”力的毒品滥用流行病模型，并计算了模型的基本再生数，讨论了模型平衡点的存在性和稳定性。当基本再生数小于1时，模型存在一个局部渐进稳定的无毒平衡点;当基本再生数大于1时，模型存在唯一的地方病平衡点，并利用几何方法证明了地方病平衡点的全局稳定性;当基本再生数等于1时，如果满足一定条件，模型出现后向分支现象。数值模拟验证了上述所有结果。研究结果表明提高隔离治疗率、改善社区治疗效果和降低接触传染率可以有效抑制毒品滥用的流行。

关键词：毒品滥用;数学流行病学;无病平衡点;地方病平衡点;全局稳定性

中图分类号：TP391.9

文献标志码：A

Abstract： The recovered drug users maybe become susceptible to drug again， but this possibility is neglected in the existing drug abuse epidemic model in which the drug users are assumed to be permanently immune to drugs after recovery. Aiming at the problem， the evolution process of drug abuse population was analyzed with considering both community treatment and isolation therapy， and a drug abuse epidemic model based on temporary immunity was proposed. Furthermore， the basic reproduction number of the proposed model was calculated and the existence and stability of the proposed model equilibrium were discussed. It is shown that the proposed model has a drug free equilibrium which is locally asymptotically stable and a unique endemic equilibrium when the basic reproduction number is less and more than unity respectively. And the global stability of the endemic equilibrium was proved by using a geometric approach. Otherwise， the proposed model has the phenomenon of backward bifurcation under certain conditions when the basic reproduction number is equal to unity. The above results were verified by the numerical simulations. The results indicate that the prevalence of drug abuse can be effectively inhibited by increasing the rate of isolation therapy， improving the effect of community treatment and reducing the infection rate.

英文關键词Key words： drug abuse; mathematical epidemiology; Drug Free Equilibrium （DFE）; endemic equilibrium; global stability

0 引言

毒品滥用又称为物质滥用，是指蓄意过度使用鸦片类、大麻类等精神活性物质以达到使人兴奋的效果，从而导致产生依赖性症状的现象。近年来，新型合成毒品的出现更是加剧了毒品滥用的蔓延。2008 — 2017年《中国禁毒报告》数据显示，我国登记在册的吸毒人员由112.67万人上升到255.3万人，增长了1.27倍，年均增长率为9.5%。可见，十年间我国毒品滥用问题整体呈现出不断上升的趋势。毒品滥用不仅严重损害吸毒者个人的身心健康，同时还会加快艾滋病等疾病的传播速度，导致各类刑事案件的大量发生，社会危害性极大。因此，研究毒品滥用的流行传播机制，为有效控制毒品滥用问题提供理论指导具有重要的现实意义。

采用数学方法建立流行病学模型，是研究和揭示疾病传播规律、预测其发展趋势以及制定有效防控措施的重要理论基础。通过将发病地区总体人群划分为易感（Susceptible）人群、感染（Infected）人群和移出（Removed）人群，并采用常微分方程系统刻画各群体间的状态转移变化关系，Kermac和McKendrick建立了经典的SIR（SusceptibleInfectedRemoved）流行病仓室模型。SIR模型假设患者康复后可获得永久免疫力，不会再进入易感人群， 但是某些传染病，例如疟疾，患者在治愈后可能再次被感染， 因此，在SIR模型的基础上，又出现了SIS（SusceptibleInfectedSusceptible）、SIRS（SusceptibleInfectedRemovedSusceptible）等模型[1-2]。隔离（Quarantine）治疗是有效防止传染病流行的一种常规措施。文献[3]采用标准发生率建立了带有隔离治疗措施的SIQR（SusceptibleInfectedQuarantineRemoved）模型，得到了疾病消失和一致持续的充分条件。Li等[4]构建了双线性发生率的SIQRS（SusceptibleInfectedQuarantineRemovedSusceptible）模型，并得出了提高隔离治疗比例将降低感染人群数量的结论。Huang等[5]建立了带有疫苗接种措施的SIQRS模型，发现隔离治疗在传染病控制过程中比接种疫苗更加有效。

由于毒品濫用与大多数传染病都是通过接触（毒品/病毒）传播的，其扩散机制具有高度相似性，于是一些学者根据流行病学原理研究毒品滥用流行扩散的内在规律。White等[6]在SIR仓室模型的基础上构建了研究海洛因吸食者流行演变的常微分方程模型，针对基本再生数进行了敏感性分析，证明了无毒平衡点和地方病平衡点的存在性并给出了产生后向分支现象的充分条件。Mulone等[7]利用Lyapunov函数证明了文献[6]中地方病平衡点的全局稳定性。文献[8]在文献[6]的基础上，将甲基苯丙胺使用者划分为轻度和重度两个人群，引入康复治疗机制，建立了物质滥用的流行病模型，并讨论了模型的动力学性态。

SIQRS模型假设得到治疗且未死亡的患者将全部治愈，不再具有传染性，这与接受隔离治疗的吸毒人群中只有部分人员能够康复，其余人员解除隔离后仍具有传染性的特点不相符合，因此，不能直接应用SIQRS模型分析研究毒品滥用的流行规律。而上述毒品滥用流行病学研究成果的取得又都是基于SIR模型，以假设康复人群对毒品拥有永久“免疫”力为前提条件的，没有考虑经治疗康复后的吸毒人员仍然存在再次成为毒品易感者的可能性， 所以，建立符合毒品滥用人群演化特点的流行病模型，揭示毒品滥用现象的内在传播规律是十分有必要的。

本文在假设康复人群对毒品仅具有暂时“免疫”力的基础上，通过考虑社区治疗和强制隔离治疗两种措施，分析毒品滥用人群演化过程的特点，构建毒品滥用流行病模型，针对模型的基本再生数，讨论模型的平衡点及其稳定性，为有效抑制毒品滥用的流行提供理论依据。

5 结语

根据数学流行病学原理，本文通过分析毒品滥用人群的演化过程及反馈回路，构建了具有暂时“免疫”力的毒品滥用流行病模型，基于基本再生数R0，讨论了模型的平衡点和稳定性。理论分析和仿真结果表明，毒品滥用现象能否得到有效控制，取决于基本再生数R0的取值：如果R0<1，模型存在一个局部渐进稳定的无毒平衡点，彻底杜绝毒品滥用现象是可能的;如果R0>1，模型存在唯一全局渐进稳定的地方病平衡点，此时，毒品滥用终将发展成为地方病，不能根除;如果R0接近于1且满足条件β2γ（u+w）>（σ+γ+u+δ1）Z，则出现后向分支现象，这意味着无毒平衡点和地方病平衡点可能同时存在，即使R0<1，仍须付出额外的努力，使R0变得足够小，才能够阻止毒品滥用发展成为地方病。基于此研究结果，可得出结论：提高隔离治疗率、改善社区治疗效果和降低接触传染率是抑制毒品滥用流行的有效方式。

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