基于多涡卷混沌系统的建模研究

丘尚锋，刘 通，姚赤芝，赵改清，张晓明

(深圳大学 物理与光电工程学院，广东 深圳 518060)

第19届广东大学生物理实验设计大赛由广东省物理学会主办，广东省海洋大学协办，意在培养大学生的创新实践能力. 本届大赛的基础试题为混沌现象，题目要求设计并且制作展示混沌现象(或者应用此特性)的非单纯计算机模拟的实物装置，研究相关物理问题，揭示其物理关系和规律. 来自广东省内各大院校的30支团队进入决赛，大赛设一等奖5个，本作品在这次大赛中获得一等奖.

1 双涡卷Jerk系统

1994年，美国科学家J.C.Sprott提出了Jerk系统[1]，系统方程为

(1)

其中非线性函数F(x)=Asgn (x)见文献[2]，式中β=0.45～0.7.

Jerk系统的x-y相图将出现2个吸引子，如图1所示.

2 用分段线性函数拓展Jerk系统

在双涡卷Jerk系统的基础上，通过扩展在x方向上鞍焦平衡点，可将双涡旋系统变成多涡旋系统[3-4]. 其主要特点是鞍焦平衡点的个数与涡卷相同. 根据非线性函数的对称性，可在原点的两边扩展出相同鞍焦平衡点，若产生偶数个涡卷，则(1)式中的非线性函数F(x)的表达式构造为

(2)

其中，N决定系统的涡卷数，涡卷数等于2N+2，取N=2，即可得到6涡卷系统[5]；A是大于零的可调参量，通过调节A的大小，可改变涡卷的大小，即A越小时，涡卷越小.

也可以在y方向上拓展鞍焦平衡点，即在(1)式的基础上将系统方程调整为

(3)

(3)式中的非线性函数F(x)就是(2)式，F(y)的表达式构造为

(4)

这样即构造了(2N+2)×(2M+2)的涡卷系统，例如取N=2，M=2,则是6×6涡卷系统. 图2为实验中测得的1×6和6×6涡卷图.

(a)1×6

(b)6×6图2 拓展的Jerk系统的涡卷图

在拓展后的系统中，可以观测到丰富的涡卷形态. 实验采用的非线性项系数A=1，通过调节比例运放的电阻值，单方向6涡卷β=0.555，双方向6×6涡卷的β=0.2～0.333. 实验过程中发现，涡卷数目越多，系统阈值越大，相应的β需要减小.β系数影响整个系统的状态：当系数β趋于0时，整个系统趋于发散态;当系数β趋于1时，系统趋于周期态. 调节合适的系数β，可以实现整个Jerk系统从周期态到混沌态.β的取值由加法器中对应z输入端的比例电阻决定.

3 用非线性函数拓展Jerk系统

3.1 模型设计

式(3)和式(4)确定的函数虽然称为非线性函数，但仍然属于分段线性函数，函数图像如图3所示，通过增加阶梯函数的非线性特性来改进Jerk多涡卷系统，实现新的多涡卷.

对非线性项进行改进，将非线性函数x3与阶梯波函数相结合，得出如下方程：

(5)

式(5)的函数图像如图4所示. 在-0.7≤x≤0.7替换成x3，非线性特性比原函数更强. 根据修改的模型，通过数值计算得到复合新函数的系数.

图3 阶梯函数图像

图4 含有x3改进后的阶梯函数图像

3.2 实验电路及仪器面板设计

电路分3部分：1)原有Jerk系统[6]；2)由窗口比较器实现的分段函数g(x)：

(6)

此电路利用g(x)函数实现定义域的取值范围；3)x3函数项，利用2个乘法器以及比例放大器实现. 其中2)和3)与原Jerk系统中的F(x)相结合得到改进后的非线性项.

图5为改进Jerk 6涡卷系统电路图，图中所有运放芯片型号为TL082，模拟乘法器芯片型号为AD633，D1和D4是型号为1N3611的二极管，D2和D3是型号为1N4740的稳压管.

图6为设计的6×6 Jerk系统电路实验板，实验板上含有2个阶梯函数发生器，通过开关控制调节阶梯的个数.

图5 改进Jerk 6涡卷系统电路图

图6 6×6 Jerk实验仪面板

图5的原Jerk系统部分，由3组反相器和反相积分器结合实现3路信号的积分，以及通过反相加法器将各路输出信号与非线性项信号相加. 改进后的Jerk系统与原系统相比，电路在阶梯函数输入端添加了窗口比较器，其作用是当|x|≤0.7 V时，输出该时刻x的值，当x的电压值在此区间时，窗口比较器输出1 V的电压，否则输出0，将x的电压值与窗口比较器输出的电压值相乘，再通过2次乘法器运算芯片，实现在-0.7～0.7 V电压内电路输出x3，将输出的信号与原阶梯信号接入加法器中，便构成了新的Jerk 6涡卷系统.

图7为窗口比较器以及乘法器，将实现的新型非线性函数输入至原Jerk系统电路中.

图7 窗口比较器和乘法器

3.3 实验测试

从图8～11可以看出，加入了x3项后的6涡卷相图和原来阶梯函数形成的6涡卷相图有显著区别，加入了x3项后非线性增强了，同时，从坐标上来看，修改后的6涡卷图具有更大的吸引域. 由于本次实验的混沌系统是通过基本的逻辑电路实现的，容易出现误差，且由于各电路元件不能完全达到理论需求，故在实验中需对β的取值进行多次尝试.

图8 分段线性函数拓展的涡卷图

图9 分段线性函数拓展的傅里叶分析

图10 加入x3后拓展的涡卷图

图11 加入x3后拓展的傅里叶分析

4 结 论

以Jerk双涡卷系统为例，通过改变其分段非线性项，扩展鞍焦平衡点即可实现多涡卷混沌系统的构建. 不同的非线性方程，对应的β系数不同，β系数影响整个系统的状态,调节合适的β系数，可以实现整个Jerk系统从周期态到混沌态的过程. 设计了在x和y方向上可拓展的实验电路，可动态展示多涡卷混沌吸引子；通过调节单个电阻，可实现了从周期态至混沌态的动力学分岔过程. 在非线性函数中加入x3项，加强系统的非线性，观测到更具复杂的混沌现象. 改进后的系统阈值更大，具有更好的信息掩盖能力[7].