基于Broyden族校正的电容层析成像图像重建算法

陈宇　夏宗基　李红波　周雨佳

摘 要：为解决电容层析成像（ECT）图像重建中的“软场”效应和典型的病态问题，提出了一种采用Broyden族校正算法对电容层析成像系统进行图像重建的方法。基于对ECT系统基本原理的研究，推导出实现电容层析成像图像重建的Broyden族校正的数学模型，并采用归纳法分析了算法收敛性。对该算法应用于ECT上的可行性进行了探讨，该算法符合收敛条件且成像精度高。实验结果的数值表明Broyden族校正算法的重建图像效果非常理想，且成像质量优于SD、LBP、Landweber及CG算法，给ECT图像重建领域提供了一种有效的新方法。

关键词：电容层析成像;图像重建;迭代算法;Broyden族校正

DOI：10.15938/j.jhust.2019.03.003

中图分类号： TN911.73

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2019）03-0016-06

Abstract：In electrical capacitance tomography technology， to solve the ‘softfield nature and the typical illposed problem， a Broyden Correction image reconstruction algorithm is proposed for electrical capacitance tomography system. After the analysis of the basic principles of the ECT system， to solve the problem of electrical capacitance tomography system， we deduced a mathematical model of Broyden Correction algorithm and analyzed the convergence of the algorithm using the monotony of the iterative error. The feasibility of this algorithm solving ECT problems is also discussed. This algorithm meets the convergence condition and the error of image reconstruction is small. Simulation data and experimental results indicate that this algorithm can provide favorable stabilization and high quality images compared with SD， LBP， Landweber and CG and this new algorithm provides a feasible and effective way for ECT image reconstruction field.

Keywords：electrical capacitance tomography; image reconstruction; iterative algorithm; Broyden Correction

0 引 言

過程层析成像技术开始于上世纪八十年代，电容层析成像是其中之一。现在众多研究者将其作为研究的主流[1-2]。ECT已被证明是一种非常适合于两相或多相流成像过程的技术。目前，ECT技术在许多两相和多相流检测方面得到了广泛应用，比如，能源、冶金、石油化工、制冷、医药、环境保护等领域[3]。为了得到混合物中的电介质的空间分布信息，采用ECT技术来检测放置在它周边的电极组之间的电容值，并且把这些测量值转换成一个图像，显示的是一个基于像素的图或图像的分布。图像是近似的，它们的分辨率较低，但是它们可以在相对较高的速度下生成。虽然图像可能是任何横截面的图像容器，但是目前大部分的工作是在圆形横截面上进行的。ECT可以用于任何混合的不同的非导电介电材料，如塑料，碳氢化合物，沙子或玻璃[4-5]。然而，ECT的一个重要应用就是观察和测量一个由两种不同介质材料组成的混合物的空间分布，在这种情况下，可以从介电常数分布获得混合物的空间分布。明确介电常数得空间分布为图像重建的主要任务。在进行图像重建的过程中遇到了三个主要困难：（1）介电常数在分布上和电容成非线性的关系，电场因为目前材料有所失真，即“软场效应”;（2）重建过程因为有限的测量电容值出现了不稳定问题;（3）反问题是病态和不适定的，导致测量结果对误差和噪声敏感[6-7]。所以，必须加大探索更有效的算法，这样才能得到高质量的重建图像。

目前在ECT方面，常使用的算法有：LBP算法[8]、人工神经网络[9]、以模型为基础的MOR算法[10]、Landweber迭代[11]、共轭梯度法[12]等。LBP算法属于定性算法，具有算法简单，重建图像速度快的优点，但是在成像上其失真严重[13]。神经网络法重建图像的原理是创建图像像素的灰度值与电容值之间得对应关系。其具有响应速度快，成像质量较高的优点，但是它需要有完整的训练样本，而实际中获得的训练样本都不够完备。MOR算法在重建图像时，与LBP算法相比，其具有更高的精确率，但是MOR算法在表示介电常数的空间分布时必须设定参数，重建的时间与参数的多少息息相关，参数多就会时间长，所以其弊端就是成像时间长。Landweber迭代算法[12]在改善迭代稳定性，控制噪声方面具有一定效果，从而使成像速度大大提高，但是该算法需要进行大量迭代才能达到预期效果。共轭梯度法在系数矩阵达到正定对称时才能使用，在简单流型上应用时，它能缩短成像时间，加快收敛速度，提高稳定性，但是在复杂流型上应用时，成像效果不好。每种方法都有自己的利弊，不断改善算法才可以得到更好的图像重建的效果。

本文在研究众多算法后，提出了Broyden族校正算法，它是拟牛顿算法的一种，把它应用到电容层析成像上能够得到较理想的效果。该算法的使用使得图像的精度有所提高，稳定性也得到了增强。在实验时，本文利用了许多算法来对比，从实验结果看，Broyden族算法能够得到理想的重建效果，在成像的质量方面，其比共轭梯度法、LBP、最数下降法及Landweber好，给ECT图像重建方面带来了一种有效的新方法。

1 电容层析成像系统基本原理

ECT系统主要由数据采集系统、电容传感器及成像计算机三部分构成。它依据材料不同其介电常数也不同，混合物中的等价介电常数会在介质分布的浓度改变后而发生变化，最后测量的电容值也会发生变化。所以，想要对介质在管道内的空间分布情况进行重建，需要电容的测量值。

本文分析对象为经典的12 电极的电容传感器系统。通常，一个N电极板构成的传感器可以得到的电容值总数M为：

M=C2N=N·（N-1）/2（1）

测量过程：从12 个电极板中选择任意一个极板当做起点，给12个电极板进行逆时针编号。若选择极板1作为公共电极，其余的电极板编号是2，3，…，12 的做为检测电极板。将固定电压U加在源极板上，测量电容值1-2，1-3，…1-12，测量的前提是没有被使用的电极在测量时都必须接地。依照以上流程实验后把电极板2当做公共电极，其余的作为检测电极，按照以上的方法继续检测2-3，2-4，…，2-12 极板之间的电容值。如上步骤，最后测量11-12极板之间的电容值，测量过程结束。最后总共得到66 组数据。

ECT系统的数学模型如下：

C=SG（2）

式中，C∈Rm为归一化的电容向量，S∈Rm×n为灵敏度矩阵， G∈Rn是归一化介质空间分布的图像向量。能否依据电容值C来得出介电常数G的空间分布为ECT图像重建的重点所在。

2 基于Broyden族校正的电容层析成像算法

3 仿真与实验结果

为验证算法的性能，采用12电极的系统，在MATLAB软件上进行仿真实验。实验中，管道的截面被32×32得网格分成1024个像素，其中，有效的区域只有856个成像单元。实验时需要先对极低位层流、低位层流、小半径核心流和柱状流进行预设置，然后采用本文提出的Broyden族算法重建图像。并采用最速下降法、LBP算法、共轭梯度法及Landweber迭代法进行图像重建，然后在重建图像的质量上与Broyden族算法比对。

用迭代次数N代表重建速度，重建的速度随着N值增大而减小，重建的时间增长。因为LBP算法采用单步处理，所以N=0。N的值可以从数值仿真实验中获得。典型的方法為满足下式的迭代误差：

比对图2的结果能看出，在接近原流型方面， CG及LBP算法不及Landweber 、SD算法及本文的Broyden算法。在极低位层流及低位层流上，Broyden族算法非常接近原始流型，而且成像质量高，边界区域没有模糊的现象。

上述几种算法在进行图像重建时，其误差比较如表1所示，本文Broyden族算法具有最小的成像误差。再加上图2的结果能看出，在层流方面，CG算法及LBP算法的误差最大;在小半径核心流方面，SD（最速下降法）的误差最大;在方形流方面，LBP算法成像的误差最大，CG算法及本文Broyden族算法成像的误差较小。

图3比较了Landweber、 SD、CG及本文Broyden族算法的2范数参量误差。依据比较得知，在极低位层流和层流方面，本文Broyden族算法在第七步之前得到了最小的2范数，第七步之后其2范数逐渐增高，极低位层流中其值仍然比Landweber和CG算法小;而在小半径的核心流方面，CG算法和Broyden族算法都达到了较小的2范数参量值，但是CG法的参量值产生了跳跃，显现了不稳定性。在方形流方面，Broyden族算法在第六步之前已经达到最小的2范数值，其后它的值再逐渐发散。表2是4种算法在迭代前20步后的2范数残量值，表2表明，Broyden族算法的2范数残量值相对较小。

表3表明，对于迭代步数，Broyden族算法明显小于Landweber法，同样小于SD算法，但是比CG法略大。通过上面的比对能看出，从成像的质量、速度及精度上看，使用Broyden族算法进行图像重建，优于LBP、CG、SD及Landweber算法。

4 结 论

本文提出了Broyden族校正算法，它是拟牛顿算法的一种，通过研究ECT反问题地软场效应及病态性，推导得到了Broyden族算法的校正表达式，而且对Broyden族算法的收敛性进行了研究。该算法具有成像速度快、程序简单、成像精度高的优点，二次终止条件在迭代过程中能够得到满足。从上面的实验结果能够得到如下结论，利用Broyden族算法来重建图像，能够获得非常好的效果，在成像质量方面，优于Landweber、SD、CG及LBP算法，给ECT图像重建方面带来了一种有效的新方法。

参 考 文 献：

[1] 吴新杰，何在刚，李惠强，等.利用多准则Hopfield网络对ECT进行图像重建[J].电机与控制学报，2016，20（8）：98.

[2] VILLE Rimpilainen， LASSE M. Heikkinen， MARKO Vauhkonen. Moisture distribution and hydrodynamics of wet granules during fluidizedbed drying characterized with volumetric electrical capacitance tomography[J].Chemical Engineering Science，2012.75（18）：220.

[3] 张立峰. 压缩感知在电容层析成像技术中的应用研究[J]. 北京航空航天大学学报，2017，11：1387.

[4] 陈宇，陈德运，王莉莉， 等. 基于多项式加速的电容层析成像图像重建算法[J]. 仪器仪表学报，2008， 29（12）：2538.

[5] OSTROWSKI K L，LUKE S P，WILLIAMS R A. Simulation of the performance of electrical capacitance tomography for muasurement of dense phase pneumatic conveying[J]. Chemical Engineering Journal，1997，6，8197.

[6] 阎春生，廖延彪，田芊. 层析成像图像重建算法综述[J]. 中国光学，2 013，5：617.

[7] LIU S，YANG W Q，WANG H，et al. Investigation of square fluidized beds using capacitance tomography：preliminary results[J]. Measurement Science and Technology，2002，12（8）：1120.

[8] 赵敬亮，庄龙，许道宝，等.基于LBP的高分辨率SAR实时成像算法[J].南京电子技术研究所，2017，2：69.

[9] 代娟，季忠，杜玉宝. 基于粒子群和人工神经网络的近红外光谱血糖建模方法研究[J].重庆大学生物工程学院，2017，34（5）：713.

[10]肖斌，刘石，阎润生，等.基于MOR两相流电容层析成像图像重建[J].中国科学院，2002，5：3.

[11]LIU S，FU L，YANG W Q，et al.Prioronline iteration for image reconstruction with electrical capacitance tomography [J]. IEE Procsci.Meas.Technol.，2004，151（3）：195.

[12]陳宇，陈德运. 基于改进RungeKutta型landweber的电容层析成像图像重建算法[J]. 电机与控制学报，2014，7：107.

[13]王莉莉，陈德运，于晓洋，等.电容层析成像系统传感器优化设计[J].仪器仪表学报，2015，36（3）：515.

（编辑：王 萍）