统计学中几个容易混淆的问题

张明亮

摘要：统计学是一门重要的学科，在日常生活中有着极其广泛的应用。本文对统计学教学中几个容易混淆的问题进行阐明，旨在帮助学生对统计学中的一些概念有个正确的理解。

关键词：统计学；直方图；总体；相关系数

中图分类号：C81 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）24-0188-02

统计学是一套处理和分析数据的方法和技术，是一门数据分析的学科。统计学作为一门基础课程，越来越受到人们的重视，呈現着新的发展趋势及活力。但是，学生往往对一些概念产生模糊认识，甚至一些教科书中，也出现对一些概念表述不清的情况，这里就学生在学习中容易产生混淆的几个问题进行阐述，旨在帮助学生对一些概念有一个正确的理解。

一、直方图与条形图

直方图是统计学中对数据描述的一个图形，在高中教材中也有介绍，但有一部分学生对这个概念理解不清。曾对学习统计学一年以后的大三学生做过一项统计学方面的调查，班级共有68名学生，有36名学生对直方图与条形图不能很好地区分开来，约占53%。有的学生把二者混为一谈，对于二者的应用范围分不清楚。条形图是用宽度相同的条形的高来表示数据多少的图形，每一矩形表示一个类别，其宽度没有实际意义，每个小矩形不相连。条形图有单式条形图和复式条形图之分，它一般适应于品质数据。

直方图是用于展示定量数据分布的一种常用图形，它是用矩形的宽度和高度来表示频数的分布，矩形的宽度表示分组数据的组距，由于分组数据具有连续性，所以每个矩形是相连的，通过直方图可以观察数据分布的大致情况。一般用每个小区间内的频率比上组距来表示小矩形的高度，这样做是为了使得直方图围成的面积为1，因为一维连续型随机变量的概率密度函数与x轴围成的面积为1，通过对直方图的折线近似拟合，观察这条折线与已知分布的哪个概率密度函数拟合得比较好，可得出这组数据的大致分布。

但是，在有的教材中，往往把直方图的高这一数据标错，给学生理解带来困难。右图为某公司电脑销售额分布的直方图，从图中可以看出，纵坐标标出的高度都不是频率与组距的比，直方图围成的面积自然也不能保证是1。

二、对总体的理解

总体是指研究的对象的全体或试验的全部可能的观察值。由此可见，总体是指研究对象，一般是一些具体的数值。如，要考察一个班级《统计学》期末的考试成绩，不能把这个班的学生看作总体，而应是每个学生的《统计学》成绩组成的集合为总体，因为这里考察的仅仅是《统计学》的成绩，而不是其他学科的成绩。有的学生对总体理解不到位，甚至一些教材上也犯有同样的错误。

三、方差与标准差的单位

随机变量X的方差用D（X）或Var（X）表示，若E[X-E（X）]存在，则D（X）=E[X-E（X）]称为随机变量X的方差。它刻画了随机变量X的取值与其数学期望E（X）的偏离程度，若方差较小，意味着随机变量X的取值比较集中在E（X）附近，反之，说明随机变量X取值比较分散。方差的开平方称为标准差或均方差。方差和标准差是否有单位，应该怎样定义单位呢？关于这个问题有很多人认识不清，方差和标准差是否有单位，取决于“样本数据”，若“样本数据”有单位，那么方差和标准差均有单位；若“样本数据”是没有单位的数值，那么方差和标准差均没有单位。由方差的定义知，一个随机变量X的方差，是这个随机变量与它的数学期望的差的平方的数学期望，若这个随机变量X有单位，它的数学期望就与这个随机变量具有相同的单位，二者差的平方的单位应该是原单位的平方，再求数学期望则单位不变，因此，方差的单位应该是“样本数据”单位的平方，而标准差是由方差开方得到，所以标准差的单位与“样本数据”的单位相同。如果数据的单位是千克，方差的单位就是千克的平方，标准差的单位就是千克；如果数据的单位是秒，方差的单位就是秒的平方，标准差的单位就是秒。只是现在教科书中对方差的单位比较淡化，一般考试中，所求的方差不要求写单位。但是，在有的教材中仍会出现单位标注错误。有本教材给出的例题是这样的：

例：根据例4.1的数据，计算9名员工月工资收入的方差和标准差。

四、无限与不可数

可数和无穷多是两个不同的概念。可数可以简单地认为是可以按一定顺序排列出来，所以也称为可列。如所有自然数{0，1，2，3，…}是可数个，只要能与自然数一一对应就是可数的，如所有奇数、所有偶数、所有有理数都是可数的。不可数就是没有办法一一排列出来，如区间[0，1]内的所有实数就是不可数的。

五、相关系数及其含义

当r=1时，称随机变量X与Y正相关；当r=-1时，称随机变量X与Y负相关；当r=0时，称随机变量X与Y不相关。说明相关系数定量地刻画了随机变量X、Y的线性相关程度，这里需注意的是：相关系数为零，只能说明随机变量X与Y不具有线性相关关系，未必没有关系；相关系数为1，也只能说明随机变量X与Y之间以概率1存在着线性关系，直观来说，就是几乎所有的点（X、Y）都在直线Y=aX+b上，允许个别点不在这条直线上，不在这条直线上的点的概率应为0，但不能说二者具有函数关系。在有些教材中，把r=1与二者具有函数关系等同起来，此教材这样描述相关系数：“可以证明，相关系数的取值范围在+1和-1之间，即-1

六、一元线性回归模型

总之，有些概念在一些教科书中介绍不清，老师在讲授时又不够重视，使得学生对这些概念不能很好地掌握，这是造成学生错误的根本原因，值得重视。

参考文献：

[1]贾俊平.统计学基础[M].第3版.北京：中国人民大学出版社，2013.

[2]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.