数学解题反思研究

戎湉

[摘           要]  数学解题是一个思维过程，罗增儒教授把它分成浮现数学现象、产生数学直观、展开数学思想、给出逻辑证明、反思解题过程、展开动态想象[1]这六个部分。其中解题反思是一个必不可少的过程，数学解题并不是简单的公式套用，也不是机械性的操作，它需要特定的数学思维来进行。通过阐述解题反思的意义方法以及典型案例，以此来提升学生学习效果。

[关    键   词]  数学分析解题;反思;中学数学

[中图分类号]  G633.6              [文献标志码]  A            [文章编号]  2096-0603（2019）13-0130-02

张奠宙在他的著作《数学教育经纬》中提出：“教学不只是传授知识而已。学生的主体地位体现在哪里呢？我认为，课堂上应该有一个‘质疑与反思的环节，让学生不仅能被动接受，也能主动反思、咀嚼、总结、发展。”[2]罗增儒在著作《数学解题学引论》中，针对解题过程提出：“在解题思想的指导下，合理地运用解题策略（或原则），科学地制定解题程序，从而进行解题行动的一个思维过程;实现问题的初始状态到最终状态的转化，是解题行动的追求，这种转化是解题的基础理论与基本方法的运用;而完整的解题过程，还应该包括解法研究，如解后的回顾、反思以及自始至终的调控等，这是一个最容易被忽视的环节。”[3]

一、解題反思的内涵与特征

中学数学学习中会遇到各种题目，若处理不当，不但违背了出题者的本意，也会使学生学习积极性下降。为了更好地应对这一现象，解题反思就变得必不可少。解题反思顾名思义就是指做题的时候对出现的问题进行深入的思考，对本题用到的数学思想方法、技巧进行总结归纳。解题反思对提高学生学习主动性很有帮助，对解题思路是种升华。[4]

反思性学习的基本特征主要有三个方面，分别是深度性、主动性、创造性。首先学生应该具有学习的主动性，解题反思整个过程都要由学生自主完成，教师可以适当引导。解题反思应该具有深度，没有深度的反思和直接翻参考答案没什么区别。创造性则是指我们可以发现新的解题方法或者演变出新的题目。

二、解题反思的意义

（一）培养创新精神和实践能力的需要

素质教育是以培养创新精神和实践能力为重点的教育，这就要求学生不能只会解题目还要学会反思。同时《普通高中数学课程标准（实验）》中也强调要提高学生的数学思维能力。不能光做知识的接受者，而要学生学会学习，有独立探究，会反思的能力。[5]

（二）提高自身解题能力

数学题目变化万千，更有一题多解，一题多变，在最短时间找到最优的方法就是学生需要提高的能力，解题反思是关键。解题后进行反思与归纳可以使学生理清解题思路，形成解题经验，为之后解题提供经验，解题后反思不同题的区别与联系，一题多解，举一反三。[6]高中生数学解题是数学日常学习的重要组成部分，专家认为解题反思是数学解题的重要部分，不仅能帮助学生理解知识，掌握方法，还能锻炼学生的思维能力和解题能力。[7]

（三）提高学习积极性

反思带给学生的不是枯燥的解题而是自我的升华，学生不单单可以解出这一道题目更加可以解出这一类题目，同时解题速度也会得到提升，有利于他们自信心和积极性的培养。

三、解题反思的方法

（一）教师方面

1.老师应该注重教学设计，在课堂上创设一些让学生思考的情景。新课标要求教师教学要激发学生学习兴趣，调动学生学习积极性，引发学生积极进行思考，鼓励学生展开创造性思维。没有思考，学生可能只是在一味接受，变成机械式学习。经常反思可活跃学生思维，对学生以后的学习很有帮助。

2.老师在给学生展示解题过程时应呈现自己的思考过程，而不是简单解题过程。比如证明一道题目，教师可以直接讲解然后给出答案，也可以边讲解边与学生交流，与学生交换思考的方法。后者，学生在讲解过程中会不断思考，对题目的理解会更加深入，而前者对大部分学生而言可能只是接受学习。教师讲解这道题目的目的不应该只是为了让学生弄懂这道题目，更是应该让学生掌握解决这类题目的思维方法。

3.老师布置作业很关键，许多机械重复的题目不但加重学生负担，也降低了他们学习的积极性。可以找些难度适中，且可以一题多变多解的题目让学生自行寻找方法并进行总结归纳，错题集是个很好的工具需要利用起来。面对一题多变的题目，学生开始可能会觉得有点难。而一题多解的题目并不好找，需要老师发费大量的时间，学生可以根据自己解答这类题目的反思来编一个，这样可以提高效率。

（二）学生方面

1.建立错题集或者反思本，形成良好的习惯。错题本的建立不是一次性的，而是一个长期反复的过程，即使前面的错题整理完了也需要多次去思考，如，错在哪，为什么错，以后有什么样的方法可以避免。许多学生发生错了，改正后再也不看了，其实很大程度上，下次遇到类似的题目仍然可能会错，因为学生没有真正理解，或者理解得不够深刻，遗忘了。错题集是学生不会的或者是有思维偏差的，需要纠正的，需要好好加以利用。

2.解题反思的具体实践（下面详论述）。

四、解题反思的具体内容

（一）反思题中的知识点数学思想及技巧

中学数学知识点庞大学生读完题目后往往不知道该题目在考查什么知识点，无从下笔，所以要反思题目所考查的知识点，以便下次解题时有解题方向。中学生很容易忽视数学思想方法，但数学思想往往是一道题解题方向的突破口，反思题中的数学思想方法十分重要，需要自己抽象概括，要不断思考。技巧是解一道题目的关键，有时候没有找到技巧会使解题过程异常困难，所以反思解题技巧很重要，需要学生平时多积累。

（二）反思习题的一题多解以及最优解法

反思一题多解以及最优解法对学生提出了比较高的要求，可以锻炼学生思维的灵活性和敏捷性，达到“闻一知十”。如果说一题多变是教师的任务，那一题多解则需要学生来完成，一题多解，很大程度上可以拓展学生思维，即使有些题目没有一题多解，也提高了学生的思维活跃程度。

（三）反思错题原因

解错一道题的原因有很多，如粗心、解题过程不严谨、漏用错用条件、考虑不周、思维混乱等因素，许多学生听完老师讲解或者看完参考答案就不管它了，其实这少了关键的一步反思，缺少对自己为什么解错或解不出来的反思。若没有反思下次可能还是会错。

（四）反思难题

难题有时候确实很棘手，但是我们不能怕它们，我们可以对照答案的思路与自己思路的区别，反思答案是怎么想到这一步的，慢慢积累。面对难题，学生对它的态度应该是若下次再见到，可以独立做出来，见到类似的题目可以有解题的思路，而不是一筹莫展。

五、典型案例

（2016·河北衡水冀州中学月考）将函数y=sin2x的图像向右平移■个单位，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为（）

A.y=2sin2x        B.y=2cos2x

C.y=sin（2x-■）      D.y=-cos2x

答案：A.将函数y=sin2x的图像向右平移■个单位，得到y=sin2（x-■）=sin（2x-■）=-cos2x的图像，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为y=-cos2x+1=2sin2x，所以选A.

这道题对刚刚接触函数的学生很容易写错，其往往就直接写成2x-■，此时我们可以从题目考查的知识点来反思，本题明显考查函数的上下左右平移，回忆可知函数上下平移是整个函数上下平移，所以我们需要对y进行加减，函数左右平移是对自变量x而言的，即对x进行加减，所以这就是关键。

解题反思是思维能力提升的表现，也是促进师生用动态发展的观点看问题的辩证思想的形成，更是学生综合学习素质得以彰显的必经历程。[8]注重学习中解题反思的应用，不仅可以激发学生学习积极性，还可以提升学生的思维品質，使学生掌握解题技巧，遇到问题可以更快找到突破口。培养高中生的数学反思能力需要更多深入的研究，这必定是一个不断反复、逐步提高的过程，在这个过程中同样需要教师和学生共同的努力。[9]

参考文献：

[1]罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2008.

[2]张奠宙.数学教育经纬[M].南京：江苏教育出版社，2003.

[3]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西教育出版社，2008.

[4]杜威.我们怎样思维[M].姜文闵，译.北京：人民教育出版社，2005.

[5]华佳.高中生解题反思中数学思维品质的培养与研究[D].杭州：杭州师范大学，2016.

[6]杨圣杰.高中生数学解题反思的实践研究[D].哈尔滨：哈尔滨师范大学，2016.

[7]朱坤燕.高中生数学解题反思能力的培养研究[D].南京：南京师范大学，2017.

[8]方开胜.高中数学解题反思的应用[D].贵州：贵州师范大学，2015.

[9]周洪波.培养高中生数学反思能力的策略研究[D].固原：宁夏师范学院，2018.

编辑 张 慧