数学试题“不会解”现象的剖析及反思

陈银会

摘 要：从学生对一道试题“不会解”各种现象进行剖析，反思教师教学应关注的问题。

关键词：“不会解”现象 剖析反思

作为中学生，天天都在解数学题，作为数学老师，天天都在关注学生解题的结果。最近，笔者在对学生进行高一期末复习过程中，对学生解一道数学试题出现“不会解”现象进行剖析，反思我们在教学中应关注的问题。

原题展示：例. 若则=_____

现象1：部分学生对已知条件不知如何入手。教师启发问“”之间有什么关系，学生回答不上来。

剖析：出现这类现象的原因是学生关于同角三角函数的基本知识点：平方关系及商数关系不具备，所以解题无从下手。

反思：这类学生是因为基础知识有漏洞。不理解运算对象导致不会解。解题研究的一代宗师波利亚说过：“货源充足和组织良好时的知识仓库是一个解题者的重要资本”，数学知识与数学能力密不可分。数学知识是形成数学能力基础。章建跃博士说：“无知者无能”，对学生而言，系统的数学知识、数学能力主要来自于课堂教学。所以我们在教学中应帮助学生查漏补缺，完善数学基础知识的体系，使学生能够理解运算对象。

现象2：部分学生在练习本中写出“”，然后不知所向。

剖析：出现这类现象的原因是学生不具备方程思想。没有意识到由已知等式与平方关系联立，可得关于的二元方程组进行求解得出：

进而根据商数关系得出。

反思：数学思想是对数学对象的本质认识，是认识具体数学概念、命题、规律、方法等的过程中提炼概括的基本观点和根本想法，是数学活动的指导思想。方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程，再具体用消元法使得问题得到求解。我们在教学中，不仅要给学生基本知识点，还应积极提炼渗透学科思想。

现象3：部分学生想到对原式两边进行平方，得到：

，然后不知所向。

剖析：这类学生欠缺的是基本问题的解题方法。这个基本问题就是三角求值中关于正（余）弦“齐次式”的求值问题：通过利用平方关系把原式变形为：

然后分子、分母同除以余弦平方可得：

解此方程可得：。

反思：解题方法需要解题实践来强化，解题经验的积累，有助于直觉性题感的形成。这一策略体现了化归的思想，同时，它还是类比、联想思维活动得以展开的基础，并与直觉相练习。在中学数学教学中，积累“基本问题”也就成为提高这一策略效率的捷径。

现象4：部分学生想到辅助角公式对原式进行变形，得到：，即，然后不知所向。

剖析：这类学生是因为对辅助角公式没有理解，生搬硬套。遇到非特殊值就不会了。具体求解过程如下：

反思：在进行数学公式、定理、法则、性质教学时，要帮助学生熟记公式、定理、法则、性质，更要让学生明确知识产生的前因后果，来龙去脉和内在联系。性质、公式、法则成立的条件和适用范围。建立在理解基础上的记忆才是有效的、灵活的。

现象5：只有极少数学生想到了利用三角函数的定义将原式变形为：。然后不知所向。

剖析：這类学生首先缺乏解题的目标意识，不知道正切函数的定义。或者不知道如何由得到结果，其本质缺乏方程思想与转化思想。只要意识到上述等式即为x，y的方程，即可通过计算得到x与y的关系，从而使问题得到求解。具体计算如下：

两边平方可得：

反思：在进行解题教学时，要训练学生解题的目标意识。即首先我们必须清楚要求的是什么？其次，我们必须了解已知与所求之间有怎样的联系？然后再在已知到所求之间探求运算的方向与途径。选择运算方法，进而求得运算结果。

课堂教学是学生获取知识的重要场所。而学生对一个问题的理解水平有差异。思维方向也各有不同，我们不能强制所有同学想法一致。所以，教师在课堂教学中应注意引导和观察，立足于学生思维“最近发展区”，拓展学生思维的深度与广度。