浅析微积分中求旋转体体积的技巧

闻卉 郑列

摘 要 本文针对微积分教学中求旋转体体积时，涉及到旋转轴的特点，给出了求旋转体体积的积分技巧，并通过具体例题加以阐述。

关键词 旋转轴 体积 积分

中图分类号：O172.2文献标识码：A

0引言

已知某一平面图形绕着平面内的某一直线（旋转轴）旋转一周所得的立体称之为旋转体，求旋转体的体积是微积分教学内容“定积分应用”章节的重点内容，尤其是曲边梯形绕轴或轴旋转一周而成的立体的体积的计算是经管专业的学生必须掌握的知识，求这类旋转体的体积采用的是微元法的思想，即通过“分割”的方法，将不规则的立体的体积用圆柱体近似替代，从而用定积分刻画体积公式。该内容比较抽象，对学生画图的要求也较高，这类题型是学生学习过程中普遍存在的难点.本文针对这一现象，通过具体例题加以说明，分析处理这类题目的技巧。

1基础知识

（1）曲边梯形绕轴旋转一周所得立体的体积。

（2）曲边梯形绕轴旋转一周所得立体的体积。

2实例

下面针对具体例题阐述如何灵活的理解和掌握上述基础知识及其应用。

例1：求由，=2所围的平面图形D绕轴旋转一周所得旋转体的体积。

说明：（1）先画出平面图形D，再利用对称性画出旋转体;（2）写体积公式即定积分：旋转轴为轴，不妨在体积的计算公式中取为积分变量，由D被两条铅直线和夹住确定积分区间：积分下限和积分上限，在轴上任取一点（在积分区间内），过该点作垂直于轴的平面去截旋转体，所得的截面（圆面）的面積即为被积函数。

例2：求由，所围的平面图形D绕直线旋转一周所得旋转体的体积。

说明：（1）先画出平面图形D，再画出D关于直线=1的对称图形，再利用对称性画出旋转体;（2）写体积公式即定积分：旋转轴为（平行于轴），故在体积的计算公式中仍取为积分变量，由D被两条铅直线和夹住确定积分区间：积分下限和积分上限，在旋转轴上任取一点（在积分区间内），过该点作垂直于轴的平面去截旋转体，所得的截面（圆环面）的面积即为被积函数。

例3：求由，和所围的平面图形D绕轴旋转一周所得旋转体的体积。

说明：（1）先画出平面图形D，再画出D关于轴的对称图形，再利用对称性画出旋转体;（2）写体积公式即定积分：旋转轴为轴，故在体积的计算公式中取为积分变量，由D被两条水平线和夹住确定积分区间：积分下限和积分上限，在轴上任取一点（在积分区间内），过该点作垂直于轴的平面去截旋转体，所得的截面（圆环面）的面积即为被积函数。

3结语

本文针对学生学习过程中普遍存在的难点，给出了平面图形分别绕轴（或平行于轴）和绕轴旋转一周所得旋转体的体积的解题技巧，写体积公式的技巧关键在于：首先由旋转轴确定积分变量，然后由平面图形的特点（被铅直线或水平线夹住）确定积分变量的积分限，最后根据截面的面积写被积函数。

基金项目：课题来源：湖北省高校人文社会科学重点研究基地项目，编号：DSS20170304。

参考文献

[1] 蔡光兴，李德宜.微积分（第二版）[M].北京：科学出版社，2011.

[2] 蔡振锋，常涛.微积分习题集（第二版）[M].长沙：国防科技大学出版社，2016.

[3] 张建.旋转体体积计算中的微元法思想应用[J].大学数学，2017，33（04）： 104-110.