基于分形理论的伯延镇传统聚落空间形态研究

冒亚龙， 张晓婧

(1. 华南理工大学建筑设计研究院有限公司, 2. 华南理工大学建筑学院, 广东广州 510641)

1 伯延镇传统聚落概况

伯延镇位于河北省邯郸市武安境东南部，始建于宋元祐年(1086年)，是冀南传统聚落的典型代表之一。伯延地势南高北低，依山傍水，属于自然发展形成的街巷，曲折蜿蜒，纵横交错并随地势高低起伏[1]，城镇空间与自然一体。由于受到燕赵文化的深远影响而产生了独特的民居文化[2]。现有徐家宅院与房家宅院保存较好，也最具代表性，其院落空间布局多为四合院或三合院，具有冀南“两甩袖”的传统民居的特征，并于2014年3月被列入中国历史文化名村名录。

2 分形理论相关概念

2.1 分形

“分形”一词是由美国哈佛大学数学系教授曼德罗伯特(Benoit B.Mandelbrot)在1975年首次提出，其原意是“不规则的、分数的、支离破碎的”物体[3]。传统欧几里得几何学具有一定的学科局限性，它无法描述自然界中复杂无规则的几何对象，如曲折的海岸线、起伏的山脉、自然生长的树木等的轮廓线。而在20世纪70年代作为现代数学一个新的分支的分形理论，对欧几里得几何体系进行了拓展和深化，揭示了自然界中复杂非线性自然现象的背后规律，打破了传统几何学的局限性，使得几何学与自然形态之间的相悖关系发生了根本性转变。分形理论作为连接自然科学与建筑设计的一座桥梁，不仅可以利用其来设计处理建筑与周边环境的关系，还可以作为一个有力的建筑批评工具，分析评价新老建筑[4]。

2.2 分维

欧式几何认为点的维数是零，直线或曲线是一维，平面是二维，空间是三维，但是对于自然界中的闪电、山脉、海岸线等复杂不规则的对象，很难说清它是什么形状，无法用1、2、3这种整数维来描述，这就需要引入分形维数(Fractal Dimension)来衡量。分形维数是分形最主要的参量与量化指标，它将维数从整数扩大到分数，拓展了一般拓补集维数为整数的内涵。

2.3 计盒维数法

计盒维数法是一种计算分形维数的常用方法，能够以反映分形的自相似程度和复杂性。用正方形覆盖所要研究的图形，N为所覆盖的盒数目，1/S是划分栅格比例，分形维数值计算公式如下：

3 伯延镇传统聚落空间形态的分析

3.1 与自然地形分形同构的聚落整体空间形态

伯延镇传统聚落依山就势，是依据地形特征自然发展而成的聚落空间组织。从分形的角度看，聚落布局也受到传统民居与宗族思想的影响，呈现出一定的自相似与相嵌特征。各宗族以各自宗族主宅院为核心向外辐射，等级层次分明。宗族间以“丁”字形或“L”形巷道相连，蜿蜒曲折，而在这些巷道的交叉转弯处经常出现一些以古树、碾盘、井台等广场空间组织而成的公共活动场所，由此构成了伯延镇的聚落形态[5]。

选用125 m、62.5 m、31.25 m、15.625 m作为栅格单元尺度对伯延镇总平面进行分形维度计算(图1)，三种尺度层级计算得出的计盒维数分别为1.698，1.790和1.727，分形维数值较高且相差不大。由此可以说明，伯延镇聚落空间形态具有较高的分形维数。同时，不同聚落尺度层级相对应的分形维数较为接近，证明各层级空间之间的相似性高，城镇空间具有连续的尺度层级。

栅格数为8

栅格数为16

栅格数为32

栅格数为64

伯延镇的发展具有随机性，所形成的聚落布局也看似杂乱无章，但是由图2的伯延镇总图空间形态与自然地形的对比可得，伯延镇地势高差较小，道路多沿等高线排布，后期居民为了提高生活效率在此基础上适当调整优化，这种自组织建造在走向、形态、尺度等基本上都体现出了顺应地势、呼应地貌的相似性融合的分形同构思想。

图2 伯延镇空间形态与自然地形同构分析

3.2 伯延镇“间-宅-院-街区-聚落”的分形迭代

在伯延民居中，有很多具有代表性的建筑单体，比如徐家大院的 “同门并第”、徐家“九门相照”院、古民居七号院“进士院”等，下面就选取徐家大院的“同门并第”作为民居代表，采用分形的思路进行建筑的空间形态分析(图3)。

以图3(a)的“间”作为基本分形空间单元，根据其功能需求适当放大或缩小尺度，也可以按照中国传统民居文化的序列构成对其在长宽等比缩放的基础上作出适当调整，形成正房、甩袖、厢房、倒座等伯延镇特色空间形式，以庭院为中心，结合交通及功能需求，并参照风水对其进行组织，形成伯延民居单元“宅”见图3(c)。将“宅”以明道和宅前人行道路这种“丁”字形交通组织作为迭代法则进行迭代，即可得到同门并第院的“宅”+ “宅”的分形同构院落布局。将“宅”+ “宅”作为民居单元，根据其街道形式，通过放缩旋转、排列组合逐渐迭代生成尺度不同的街区，进而组合形成“间-宅-院-街区-聚落”的伯延镇传统聚落。

如图3(d)所示，“同门并第”院落坐西朝东，以中间的一条 “明道”为轴，由一个四合院通过对称并联而成。其中“明道”主要为行马道路，与宅院前的人行道路组成的“丁”字形宅间路，与上文提到的街区宗族间的道路形制相同而尺度不同，是一种具有地域特色的迭代规律。

图3 “间-宅-院-街区-聚落”的自相似构成

这样的生成过程中伴随着随机因素的影响，不一定能体现出其空间结构明确相似的特征，但是在“间-宅-院-街区-聚落”的各个空间与尺度层级间存在着适当放大或缩小尺寸，整个空间关系不变的特点，符合分形的自相似特征，并使整体呈现秩序性，表现出宅院与各部分及环境之间的和谐感。各层次空间结构具有相似性和相嵌的韵律，展示了无序中蕴含有序，复杂中蕴含简单的分形美。

3.3 尺度层级丰裕的建筑立面形态

以徐家大院为例，继续运用分形的思维，计盒维数的方法分析伯延民居的空间立面形态，同时也为建筑单体空间界面形态的分析提供不同的思路。

徐家大院建于明末清初(1628年)，是伯延镇保存最完整，规模最大的庄园。徐家大院西宅院由四进院落串联而成，因其中轴线贯穿9道大门，故又称“九门相照”院。建筑空间界面较为丰富，倒座面宽5间，中心为突出的门头，以木结构为主，斗拱上施瓦顶，并雕刻精致花纹，屋脊两侧有吻兽，突出立体，能够体现出伯延传统民居的建筑风格特征。[6]对“九门相照”院立面进行栅格划分(图4)，选取2 m为栅格单元尺度时，可发现栅格划分单元中已经出现大面积空白，说明此时初步具备描述能力。

图4 “九门相照”院立面栅格划分

由上述计算可得，在1～2 m的区间，分形维数为1.538；在0.5～1 m的区间，分形维数为1.569。在0.25～0.5 m的区间，分形维数为1.712。对比范斯沃斯住宅的分形维数值1.410可以看出“九门相照”院立面整体分形维数值较高，特别是立面空间在尺度0.25～0.5 m的细节较为丰富。当观察者逐渐接近大院时，视野中对大院立面的描述逐渐由立面大致外轮廓到大门花窗，再到尺度更小的斗拱、瓦顶、脊兽、檐口，最后仔细观察可见立面雕花等细节，是一种较为连续的韵律，具有丰富的尺度层级。

4 结束语

应用分形理论和计盒维数法分析伯延传统民居的空间形态，具有将抽象的空间形态进行量化描述的科学与实用价值。伯延镇聚落空间形态受自然地形、地貌等影响，在与自然维度相统一的前提下优化调整，基本体现了自然分形的特点。其中伯延镇聚落的不同尺度层级的空间相似性较高，并且拥有连续的尺度层级和空间丰富性；其单体平面形态以“间”为分形元，根据其功能需求并按照中国传统文化，放缩旋转形成正房、甩袖、厢房、倒座等伯延镇特色空间形式，以庭院为中心，结合交通及功能需求，以道路为迭代规律，通过分形迭代、同构、嵌套的方法演绎了“间-宅-院-街区-聚落”的不同尺度层级的形态，符合分形的自相似特征，并使整体呈现秩序性，表现出宅院与各部分及环境之间的和谐感；各层次空间结构具有相似性和相嵌的韵律，展示了无序中蕴含有序，复杂中蕴含简单的分形美。在单体立面上精致的门头、花窗及错缝搭接的花砖构成了较为连续的韵律，体现出尺度层级的丰富性，从整体上延续了伯延聚落的分形特征。