长波信号中周期修正项对授时精度的影响

燕保荣，李 云，郭 伟，华 宇

(1.中国科学院 国家授时中心，西安 710600；2.中国科学院 精密导航定位与定时技术重点实验室，西安710600)

1 引 言

卫星导航系统的信号易受遮挡和干扰的弱点[1]，使得其在未来战争或非常时期可能无法保障授时导航服务，从而使国家安全存在严重的隐患。长波授时的优点在于信号传播路径较为稳定，抗干扰性能较好，因此，它可以用作卫星导航系统最可行、最可靠的备份系统[1]。但是，长波授时精度不高，因此，该系统的实际应用受到了限制。为充分发挥长波授时的特点，高质量的长波授时已成为国内外学者研究的热点[2–5]。

中国的长波授时系统采用了罗兰-C 的脉冲发射体制[6]，它通过长波发播天线将电流信号转换为电磁波信号，使其在自由空间传播，并在接收端利用天线将电磁波信号转换为感应电动势，然后通过匹配电阻将信号输入到接收机进行处理，完成定时功能。长波接收机在进行信号处理时，通常会选择感应电动势信号第3 周末的标准过零点(standard zero crossing,SZC)作为信号的跟踪点[7]。人们通常把信号电流的起点定义为脉冲信号的零点，从零点到信号标准过零点的时间间隔，称为信号的周期修正项[8]。长波定时信号实际上是以载频为中心向两侧扩展的通频带内许多正弦波的叠加，并且定时信号以天波或地波的形式进行传播。由于天波传播路径比较复杂，本文只针对地波的情况进行讨论。当信号沿地球表面传播时，实际地面并不是严格意义上的真空，频率高的载波分量传播速度快，幅度衰减大；频率低的载波分量传播速度慢，幅度衰减小，因此，在接收端合成新的波形时，波形会随着距离的增大而发生畸变，即会产生所谓的色散[8]。色散会造成接收端感应电动势周期修正项与发射端电流信号周期修正项的不同。在以往的工作中，特别是授时精度要求不高时，色散造成的影响可以忽略[9,10]，即周期修正项对授时精度的影响可以不予考虑。但是，对于高精度定时，必须考虑色散对感应电动势周期修正项的影响，以及周期修正项对授时精度的影响[10]。本文从电磁波传播的基本理论出发，计算了发射端电流信号与接收端感应电动势信号周期修正项的不同，并分析了不同地面类型对周期修正项的影响，以及采用磁天线和电天线造成的差异，以期提高长波定时中传播路径时延计算的精度。同时，对周期修正项的详细计算和分析可为新型定时接收机的研制及接收天线的选择提供理论基础，提高用户接收机周期识别的能力。

2 长波定时

2.1 罗兰-C 标准信号

罗兰-C 系统发射天线底部馈电点的电流脉冲是一个载频为105Hz 的钟形脉冲，它的时间函数可以表示为[6]：

其中，sin(ω0t)是载波信号，ω0为载波的角频率，且ω0= 2πf0，f0= 105Hz，为载波的中心频率，载波周期为T=10µs。f(t)为单脉冲的归一化波形，它是指数不对称形函数，其解析表达式为：

其中，e 是自然常数。τ为脉冲前沿，即脉冲从0 上升到峰值的时间。在中国，BPL 长波发播信号中，脉冲前沿τ取为65µs。图1给出了中国长波发播信号单脉冲的标准波形，以及标准过零点和周期修正项Tc。可以看出，标准过零点的位置在30µs 处，且Tc=30µs。

图1 长波发播信号单脉冲标准波形

2.2 长波授时原理

长波授时是利用长波(低频)进行时间频率传递与校准的方法，该方法具有作用距离远，稳定性好，抗干扰能力强等优点[11]。长波接收机接收长波发播台发出的信号，并可根据一定的算法获得本地接收机时钟与标准时间的时间偏差∆T，以完成定时[12]。定时过程的时间原理如图2所示[11]。在统一的时间轴上∆T满足以下关系：

其中，Tm为发播台参考秒脉冲(1 pulse per second,1PPS)与标准时间的时间间隔；Tp为长波信号传播路径时延，即长波信号从发播台到接收机当前位置的绝对传播时间；Tr为接收系统时延；N是接收机组触发脉冲(group trip pulse,GTP)与接收机1PPS 之间的时间间隔。如果Tm,Tp,Tr,N已知，就能计算出∆T。从计算过程可知，Tp的计算精度对∆T有显著影响。另外，长波接收机内置计数器，用于测量接收机本地秒与触发脉冲之间的时间间隔。由于接收机本地秒与标准秒信号不一定同步，故测量值中包含了接收机钟差。

图2 长波接收机定时原理示意

2.3 传播路径时延中的周期修正项

传播路径时延Tp一般是指从发射信号起点到接收信号起点所经历的时间延迟。但是，由于长波接收机跟踪信号标准过零点，故这里的传播路径时延指的是信号标准过零点的传播时延。如图3所示，其中，I(t)为发射端电流信号，ξ(r,t)为接收端感应电动势信号。发射端电流信号标准过零点在30µs 处，即周期修正项为30µs。信号在真空或者实际传播介质中传播时，Tp可用下式表示：

其中，r为信号在真空中传播的距离，c为真空中的光速。ns为传播介质的折射指数，当传播介质为真空时，ns=1；当传播介质为空气时，通常取ns=1.000 315；Tc为接收端感应电动势的周期修正项，其单位为微秒。从式(4)可以看出，如果接收端感应电动势的周期修正项与发射端电流信号的周期修正项相同，即Tc= 30µs，则它只与传播的距离和传播介质有关；如果Tc≠30µs，则感应电动势的周期修正项将直接影响传播路径时延的计算结果，从而影响最终的定时精度。因此，本文主要讨论用户接收端感应电动势的周期修正项问题及其对授时精度的影响。

图3 传播路径时延基本关系示意

3 基本理论

3.1 信号电流的近似表示

前面已经指出，发射天线馈电点的信号电流是f(t)与角频率为ω0的正弦信号的调制脉冲。为简化相关计算，发射天线馈电点电流信号用指数e±jω0t的形式表示[8]：

其中，有意义的部分为：

即发射天线馈电点电流信号I(t)等于(t)虚部的负值。

对其进行分部积分，可以得到：

计算后可以得到：

其中，

根据式(6)可以得到：

因此，发射天线馈电点的信号电流I(t)既可以用解析表达式(1)表示，也可以用谐波叠加的式(12)表示。

中国BPL 发播台发射信号的中心频率为f0=105Hz。当ω0=2π×105rad·s−1时，比较R1(ω)与R2(ω)可以看出，R2(ω)≪R1(ω)，因此，式(12)可近似表示为：

式(13)表明，信号电流I(t)的积分范围为[0,+∝]。实际的电流信号具有一定的带宽，从中心频率向两侧扩展。为计算式(13)，可以选择一定的频率范围，将积分变为求和，进行数值计算[13]。取dω=2π∆f，∆f=103Hz，式(13)可以简化为：

其中，n为整数，表示∆f的倍数。当n=100 时，ω100=100∆f，并且，

其中，t的单位为微秒。

为了比较电流信号的解析表达式(1)与近似表达式(14)的差异，我们选择不同的积分(求和)范围进行数值计算。计算结果表明，电流信号谐波叠加的近似形式与其解析表达式在波形上相同，可以代替解析形式进行计算。图4给出了不同积分(求和)范围下，数值计算结果与解析形式之间的误差曲线，所选择的积分频率范围分别为30∼170 kHz,40∼160 kHz,70∼130 kHz。结果表明，数值计算结果与解析式的结果十分相近，其误差量级很小。但是不同的积分区间，误差存在差异，积分(求和)范围越大，对应的误差越小。同时，积分范围越大，相应的计算量也越大。我们选择30∼170 kHz 的积分范围作为数值计算的频率选择。

图4 数值计算结果与解析式计算结果的误差曲线

3.2 信号接收端的电磁场

电磁波是从交变运行的电荷系统辐射出来的。从宏观的角度看，电磁波由载有交变电流的天线辐射出来；从微观的角度看，变速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。当交变电流分布给定时，计算辐射场的基础是推迟势公式。这里以自由空间中的传播为例进行阐述，推迟势A(r,t)的公式为[14]：

其中，µ0为真空中的磁导率；J(x′)是一定频率的交变电流密度；x′表示电流所处的位置，它只与电流的分布区域有关；t表示发射端的信号时间；k为相位常数；r为接收端到发射端的距离；ejkr是推迟作用因子，它表示电磁波传播至接收端时对应的相位延迟kr；V ′表示电流的分布区域。长波的发播天线可以看成是一个简单的振荡电偶极子系统，天线的长度为∆l。当天线上有交变电流I(t)时，接收端由振荡电偶极矩产生的辐射的幅值为：

根据推迟势可以计算出接收端磁感应强度B和电场强度E的幅值的表示式：

其中ε0为真空介电常量。将I(t)的近似表达式(13)代入式(18)和式(19)，并进行关于时间的一阶求导，可以得到以下公式：

比较接收端磁场和电场的公式可以看出，电场和磁场具有相同的相位，即当磁场幅值达到最大时，电场的幅值也将达到最大。需要注意的是，上述推导过程的传播介质为真空，它与实际介质存在一定差异。

4 感应电动势及周期修正项

在接收端，天线接收长波信号。在接收天线上产生的感应电动势信号，由接收机进一步处理。根据接收端离发射端距离的远近，电磁波表现为不同的特性。当传播距离小于一个波长时，kr ≪1，推迟作用因子ejkr ≈1，电磁场保持恒定场的主要特点，因此，在近场区域内的情况可暂不考虑。当接收端位于辐射区时，需分析其电动势的波形及其周期修正项。

4.1 信号在真空中传播时的感应电动势

接收天线按照其特性，可以分为磁天线和电天线[15,16]，下面对此分别进行讨论。

(1)若接收天线为单圈的磁性天线，且线圈的面积为S，则接收端磁天线上指数形式的感应电动势(r,t)正比于接收天线内磁通量Φ(t)对时间的导数[13]，即：

其中，B(r,ω,t)为接收端的磁感应强度，s表示线圈的法向矢量。当线圈方向平行于电磁波的传播方向，且磁场垂直于线圈的平面时，电磁场产生的感应电动势最大。这里，有意义的感应电动势为ξB(r,t)=−Im(r,t)。在接收端感应电动势的幅值可以简化为：

(2)若接收天线为鞭状的电性天线，接收天线的长度为L，则接收端电天线上指数形式的感应电动势可以表示为：

其中，E(r,ω,t)为接收端电场强度，l表示接收天线的方向矢量。当电场方向与天线方向相同时，电磁场产生的感应电动势最大，接收端感应电动势的幅值可以表示为：

磁天线与电天线接收的感应电动势的表达式不同。比较式(23)和式(25)可知，当载频为单一频率时，例如n= 100 时，ω2n和ωn为常数，此时，电天线感应电动势的相位比磁天线感应电动势的相位超前π/2，即1/4 周，载波周期是10µs，因此，电天线感应电动势的波形应超前2.5µs。实际上，载频具有一定的带宽，接收天线的特性会改变感应电动势信号的周期，造成ξ(r,t)与I(t)波形的差异，因此，电天线感应电动势的相位超前磁天线感应电动势的相位，但并不是严格的2.5µs，而是跟接收天线的特性有关。选择频率的求和范围为30∼170 kHz，按在真空中传播进行计算，数值计算结果如图5所示。从图中可看出，电天线感应电动势的周期修正项Tc= 27.605µs，磁天线感应电动势的周期修正项Tc= 30.178µs，两者相差2.573µs。此外，电天线和磁天线的感应电动势的周期修正项也与电流信号的周期修正项有差异，因此，在计算传播路径时延时，需要考虑周期修正项的影响。

4.2 介质中传播的感应电动势

根据地波传播理论，当传输介质不为真空时，天线电流产生的磁场B(r,ω,t)和电场E(r,ω,t)的幅值分别由下面的式子给出：

其中，W(ω)表示衰减函数，是传播介质中传播频率、传播距离、传播路径上的相对介电常数、等效电导率等诸多因素的综合影响；argW(ω)表示衰减函数的幅角。关于衰减函数的计算公式在很多文献中都有阐述[17–19]，这里不再重复。由此求得的磁天线和电天线所对应的感应电动势的表达式分别为：

可以看出，感应电动势波形及其周期修正项都受到传播介质的影响。根据国际电联(ITU，即原CCIR)关于大地传播类型的划分，参考地面可分为平均海水、良导电地、潮湿地面、平均陆地、较干燥地、干燥地面和甚干燥地七种典型的类型，相应的相对介电常数、等效电导率等参数的取值见参考文献[17]。根据式(28)和式(29)，表1和表2分别给出了利用磁天线和电天线时不同介质中数值计算的周期修正项，其中，地球等效半径系数取4/3。

表1 用磁天线时感应电动势的周期修正项

图6给出了平均海水(相对介电常数为70，等效电导率为5 S/m)中，不同传播距离时感应电动势的波形(磁天线)及其对应的周期修正项。从图中可以看出，对于单一的传播介质，随着传播距离的增加，感应电动势的波形会出现一定程度的平移，周期修正项的值也会随之增大：在100 km 处，Tc= 30.265 5µs；而在1 700 km 处，Tc= 33.192 5µs。两者相差了近3µs，这是因为实际传播介质不同于真空，并且不同频率的载波传播速度不同。Tc的变化说明：利用长波进行高精度的时间传递时，需要考虑周期修正项的改变对传播路径时延的影响。实际介质中周期修正项的影响更为显著。

表2 用电天线时感应电动势的周期修正项

图6 不同传播距离上感应电动势波形

在计算接收端的感应电动势时，等效电导率的取值也是影响感应电动势和周期修正项的重要因素。当相对介电常数恒定时，等效电导率σ对Tc的影响也可以根据式(28)和式(29)进行仿真计算。根据长波地波传输信道计算方法中典型地面相对介电常数和电导率的取值[17]，选择相对介电常数分别为70 和40，接收天线为磁天线时进行分析。不同σ对Tc的影响如图7所示，其中，σ取值范围分别为3∼7 S/m 和1.7×10−2∼5.5×10−2S/m。从图中可以看出，当σ恒定时，Tc随传播距离的增加而近似线性增大。在恒定的传播距离上，σ减小时，Tc反而会增大，这是因为电导率越小，所对应的衰减函数越大，从而造成周期修正项也越大。比较相对介电常数为70 和40 两种情况的结果，前者σ的影响并不明显，而后者影响较为显著。结合图6的内容，计算出恒定σ时Tc的变化斜率，用于修正传播路径时延的计算，可以有效地扣除周期修正项的影响，提高路径时延的计算精度，从而进一步提高长波授时的精度。

图7 电导率对周期修正项的影响

5 总结与展望

周期修正项是影响长波定时精度的重要因素。本文从标准罗兰信号电流及基本概念出发，首先给出了长波发射电流信号的近似表达，即电流信号可以表示成一系列不同频率谐波的叠加。数值计算的结果表明：谐波叠加的电流信号与标准电流信号近似相同。结合电磁波传播理论，数值计算了接收端感应电动势的周期修正项，结果表明其与发射端电流信号周期修正项的30µs 不同，传播介质为真空时，磁天线感应电动势的周期修正项为30.178µs。实际传播介质中，感应电动势周期修正项的数值往往比真空中的数值还大，如果对此不予考虑，势必影响传播路径时延的计算精度，因此，在利用长波进行高精度授时时，需要考虑感应电动势周期修正项的影响。感应电动势周期修正项与实际传播介质的相对介电常数、等效电导率和传播距离有关。无论是磁天线还是电天线，当接收的信号为地波时，数值计算的结果都表明：传播距离越大，感应电动势所对应的周期修正项的值也会越大；传播距离和相对介电常数恒定时，传播路径上等效电导率越小，所对应的感应电动势的周期修正项反而越大。综上所述，对于长波定时接收机，在信号处理时需要考虑接收端感应电动势周期修正项对授时精度的影响。我们可以利用恒定电参数时，周期修正项与传播距离的近似线性关系，预估周期修正项的具体修正值，以提高用户接收机的授时精度。