导数在不等式问题中的应用

宣筱潇 李琪

【摘要】导数是中学数学中重要的知识点，是学生必须掌握的知识点。利用导数证明不等式问题，构造新的函数，搭建起不等式和函数的桥梁，将不等式问题化难为易，为解决不等式问题提供新的解题思路。熟练掌握导数在不等式问题中的作用，有利于中学数学阶段的学习。

【关键词】导数 不等式 函数 应用

【基金项目】2015年度国家自然科学基金项目“若干离散可积方程族的多维反散射变换研究及精确解”。（编号：11561002），主持人：李琪。

【中图分类号】G42 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）25-0152-02

一、引言

在数学学习过程中，等式问题是一个非常普遍的现象，而不等式一样也是数学学习中一个重要的知识点。近年来，不等式问题在数学研究领域已经得到了非常广泛的应用和研究。对于一般性的不等式证明问题，采用的方法有比较法、综合法、数学归纳法、分析法、重要不等式法等。对于比较难或者抽象的一些不等式问题，传统方法的局限性问题就比较突出了。

导数在高中数学中占据着主导地位，是每位学生必须掌握的知识点，同时在大学课程中，是微积分的基础内容，具有承上启下的作用。导数作为一种重要的解题工具，在许多类型的题目中都有涉及，是一个值得研究的课题。许多学者研究过导数在解决不同类型题目中的作用，熊诗茂研究导数在不等式恒成立求参数范围问题上的作用；[1]钟宇宁将导数作为研究工具，研究导函数不等式解集的若干求解方法；[2]曲文瑞、李学军认为导数具有丰富的内涵和几何背景，为函数问题的解决提供了便利的条件；[3]吴统胜认为学生对于函数压轴题具有恐惧心理，他举例研究了导数处理函数问题的解题策略。[4]

不等式是中学数学一个重要的知识点，证明的方法多种多样，如何通过具体例子采用何种解决办法则是十分关键的。将导数作为一种数学研究工具，利用导数证明不等式，构造出新的函数，利用相关的理论研究探讨，将灵活多变，技巧性强的不等式证明问题变得更加简单。

本文利用导数这个工具多角度证明不等式，分别通过导数定义证明定义型不等式，利用导数这个工具将一些不等式问题转化为函数单调性求解，以及利用导数研究不等式问题中常见的恒成立问题。

二、利用导数定义证明不等式

函数y=f（x）在x0处的瞬时变化率■■=■■成为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x=x0。利用导数的定义可以证明一些定义型的不等式问题，仔细观察题目条件和结论，寻找x0邻近区域，利用导数定义完成解题。

例如： f（x）=m1sinx+m2sin2x+…+mnsinnx其中m1，m2，…，mn都为实数，n为正整数，已知对于一切实数x，有|f（x）|≤|sinx|，证明|m1+2m2+…+nmn|≤1。

分析：该题是不等式的证明，首先需要求出f（x）的导数，观察导数值与问题之间的关系，最后再根据题目已知条件设定x的值证明不等式。

证明：∵f′（x）=m1cosx+2m2cos2x+…+nmncosnx，观察式子可得当x=0时，f′（0）=m1+2m2+…+nmn，将问题转化为|f′（0）|≤1。根据导数定义可得|f′（0）|≤■■=■■，由已知条件知|f（x）|≤|sinx|，|f′（0）|≤■■=1，∴|m1+2m2+…+nmn|≤1成立。即得证。

三、利用函数的单调性证明不等式

证明可导函数不等式，可利用导数符号和函数单调性的关系来证明。[5]设函数y=g（x）在[m，n]上连续，在（m，n）上可导：

（1）如果在[m，n]上g′（x）≥0，那么y=g（x）在[m，n]上单调递增；

（2）如果在[m，n]上g′（x）≤0，那么y=g（x）在[m，n]上单调递减。

在某些不等式问题上，可通过判断导数大小来判断函数的增减性从而解答不等式问题。

例如：已知m>0，如何证明m>ln（1+m）。

分析：第一步构造函数，通过作差作商的方式构造一个新的函数。设α（m）=m-ln（1+m），当m=0时，α（m）=0。若证明当m>0时，α（m）为增函数就可证明m>ln（1+m）。

证明：设α（m）=m-ln（1+m），∵α（m）在（0，∞）上可导，通过求导，得到α′（m）=■。当m>0，α′（m）>0，即α（m）在（0，∞）上是一个增函数，∴α（m）>α（0）。∵α（0）=0，∴α（m）>0，∴m>ln（1+m），即得证。

导数作为搭建函数和不等式的桥梁，使某些不等式证明化难为易，便于学生解題。利用函数单调性证明不等式的过程可分为三个步骤：

（1）构造新的辅助函数（构造函数的方法有很多，有作差法、作商法、不等式两边取对数法等）。（2）对函数求导，判断求导之后的正负性。若求导后大于零，则在定义域内该函数是单调递增，若小于零，则是单调递减。（3）根据题目条件证明不等式。

四、利用导数解决恒成立问题

不等式的恒成立问题是高中数学中常有的题目类型，难易程度可大可小。在近几年的高考中，不等式的恒成立问题也是一个热点题型，常以最后一道压轴题出现。导数作为一种有效的解题工具，在解决不等式恒成立问题中起到了十分重要的作用。

例如：已知y=■在R上是恒成立，求a的取值范围。

分析：因为在R上是恒成立，也就是对于任意的x，ax2+6ax+a+8≥0。设f（x）=ax2+6ax+a+8，将不等式问题转化为函数问题，利用导数求解函数的最值。若函数的最小值恒大于等于0，则不等式恒成立。

求解：（1）当a=0时，f（x）=8，此时满足条件。

（2）当a>0时，f′（x）=2ax+6a，所以x=-3是函数的极小值。继而求出函数的最小值为f（-3）=9a-18a+a+8=8-8a，则8-8a ≥0，所以a∈（0，1]。

（3）当a<0时，此时函数开口向下，不能在R上恒成立，所以不成立。

综上所述，a的取值范围为[0，1]。该题是一个带根号的恒成立问题，由于根号的特殊性，学生解题思路相对清晰，后续利用导数求解函数的最值便迎刃而解。不等式的恒成立问题题型较多，具体问题需具体对待。

五、建议与思考

在不等式的证明过程中，导数的应用十分广泛。定义型的不等式问题可运用导数的定义求解；涉及函数类型的不等式问题中，可通过导数这个工具求解函数的单调性从而证明不等式；不等式恒成立问题是历年来的高考热点，通过导数这个工具可将题目化难为易。不等式题目千变万化，学生在实际做题中如何找准切入点是教师也是学生该引起重视的。本研究的不足之处在于只列举了一部分类型的不等式，且题目数量有限，典型性不够。

参考文献：

[1]熊诗茂.基于不等式恒成立求参数范围问题的导数运用[J].数学学习与研究，2018（17）

[2]钟宇宁.导函数不等式解集求解方法[J].科教导刊，2018（1）：39-41

[3]曲文瑞，李学军.函数与导数复习专题[J].中学教研（数学），2018（2）

[4]吴统胜.例谈函数导数压轴题的解题突破策略[J].中学数学研究，2017（12）

[5]李文光.利用导数方法证明不等式[J].云南建设学校，2010，5.

作者简介：

宣筱潇（1994-），女，汉族，浙江诸暨人，东华理工大学2017级教育硕士在读研究生。

李琪（1973-）， 女，汉族，江西抚州人，东华理工大学教授，博士，研究方向为非线性可积方程、数学教育教学方法。