2n+1阶幻方的先纵后横错位构造法

刘兴祥，张 婧，刘娟娟

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

矩阵是代数学的一个重要研究对象，近年来关于幻方研究层出不穷[1-6]。目前，关于幻方构造的方法已相当丰富。本文根据幻方的定义及其性质，研究了利用先纵后横错位构造的方法对2n+1阶幻方的构造，给予了证明并举例说明。

1 预备知识

定义2[1，2]设矩阵A=(aij)m×n∈Zm×n，m,n∈N*，若(11…1)1×m(aij)m×n=Cr(11…1)1×n，则称矩阵A=(aij)m×n为Z上的m×n阶列和幻阵，其中Cr称为m×n阶列和幻阵A的列幻和。

定义3[2，3]设矩阵A=(aij)m×n∈Zm×n，m,n∈N*，若矩阵A满足以下条件:

②(11…1)1×m(aij)m×n=Cr(11…1)1×n；

③Cr=Cl。

则称矩阵A=(aij)m×n为Z上的m×n阶行列和幻阵，其中Cl或Cr称为m×n阶行列和幻阵A的行列幻和。

定义4[3]设矩阵A=(aij)m×n∈Zm×n，m,n∈N*，若矩阵A满足以下条件：

②(11…1)1×m(aij)m×n=Cr(11…1)1×n；

③Cr=Cl；

④m=n。

则称矩阵A=(aij)为Z上的m阶弱和幻方，其中Cl或Cr称为m阶弱和幻方A的弱幻和。

定义5[1-3]设矩阵A=(aij)m×n∈Zm×n，m,n∈N*，若矩阵A满足以下条件：

①m=n；

③(11…1)1×m(aij)m×n=Cr(11…1)1×n；

⑥Cl=Cr=Cmd=Ccd。

则称矩阵A=(Aij)m×n为Z上的m阶和幻方，幻和记为CS，且CS=Cl=Cr=Cmd=Ccd。

2 主要结论

定理已知函数f(x)的定义如下：

对∀x=(x1,x2,…,xn,xn+1，…x2n+1)∈(N*)1×n，则

设矩阵A=((i-1)(2n+1)+j)∈(N*)(2n+1)×(2n+1)，令A=(α1，…，α2n+1)，B=(β1，…，β2n+1)，

证明：当n=k时(记m=2k+1)，

A=(α1,α2,α3,…,αk,αk+1,αk+2,…,α2k-1,α2k,α2k+1)，

令

B=(β1,β2,β3,…,βk,βk+1,βk+2,…,β2k-1,β2k,β2k+1)，

此时，矩阵B的每行和为1，2，3，…，2k+1,m,2m,…,2km的和，为(2k+1)(2k2+2k+1)。

B=(u1,u2,u3,…,uk,uk+1,uk+2,…,u2k-1,u2k,u2k+1)T，

其中，

C=(v1,v2,v3,…,vk,vk+1,vk+2,…,v2k-1,v2k,v2k+1)T，

此时，矩阵C的每行每列及主副对角线和都为1，2，3，…，2k+1,m,2m,…,2km的和，为(2k+1)(2k2+2k+1)。

证毕。

例1 利用先纵后横的构造方法构造一个3阶幻方。

当n=1时，C是一个3阶幻方，幻和为15。

例2 利用先纵后横的构造方法构造一个5阶幻方。

当n=2时，令A=(α1,α2,α3,α4,α5)，

v1=(12 3 19 25 6)，

v2=(8 24 5 11 17)，

v3=(16 22 13 4 10)，

v4=(9 15 21 2 18)，

v5=(20 1 7 23 14)。

当n=2时，C是一个5阶幻方，幻和为65。