企业相互持股下的Hotelling拓展模型及其均衡分析

关 菲， 韩树新， 任建勇

(1.河北经贸大学 数学与统计学学院，河北 石家庄 050061; 2.国网河北省石家庄供电公司，河北 石家庄 050000)

0 引言

产品定价在厂商营销管理中具有重要地位。通常，厂商会综合考虑市场需求量、目标利润、市场波动等因素进而制定有效的产品定价方案。然而，近年来随着产品差异化的逐步减小，产品的替代性逐步增强，价格竞争变得越来越激烈。产品如何有效定价问题引发国内外学者广泛关注。关于产品定价研究，Hotelling模型是一个很重要的工具。1883年，Bertrand[1]首次提出了企业间的价格竞争模型，其主要结论是，同质的企业在进行价格竞争时，最终结果是定价等于边际成本，企业利润为零。而这与现实是不相符的，被称为 Bertrand悖论。1979年，D’Aspremont等人[2]提出了一种解决Bertrand悖论的方法。他们在Hotelling区位竞争模型[3]中加入了价格竞争，使企业可以序贯选择位置与产品价格，得到的最终结论是：为使得利润最大化，企业会选择生产具有最大化差异的产品，此时产品的价格不再等于边际成本，而企业也有了正的利润。之后，很多学者对Hotelling模型进行了拓展和应用，取得了很多重要的研究成果。比如：文献[4]针对市场中存在价格领先者和跟随者的情况，分析了两厂商在选址固定情况下进行先后定价的Stackelberg均衡。文献[5]针对现代市场中广泛存在厂商先后进入的情况，基于 Hotelling 模型构建了线性市场上二次运输成本下两厂商水平竞争的完全序贯决策模型，两厂商先后同时选址与定价的博弈模型、两厂商先同时选址再同时定价的博弈模型、两厂商先同时选址再先后定价的博弈模型，并对模型进行了对比分析。文献[6]考虑到网络外部效用的广泛存在性与对称性，对传统的Hotelling模型加以改进，分价格竞争和策略选择两个阶段，对双寡头垄断厂商的定价策略进行了博弈分析。文献[7]将 Hotelling模型的 Stackelberg价格均衡引入到B2B电子商务网站的 IT 投资决策模型和终端产品外包决策中，探讨了各参数变化对投资和外包决策的影响。文献[8,9]求解了反恐防御竞争均衡和非对称双边竞争均衡。文献[10]分析了争夺广告和读者的报纸出版商市场上的Hotelling竞争及政治分化问题。文献[11]探讨了同时考虑生产技术和劳动力投入的空间竞争Hotelling模型。文献[12,13]讨论了Hotelling模型在诸如考虑拥塞负效应、双边平台竞争、产品多维特征空间等情形下的应用。

本文结构安排如下：第1部分中，我们给出了模型的具体设定并对均衡结果进行了讨论，讨论了均衡存在的条件；第2部分，分析了参数变化对均衡结果的影响。第3部分，结论与研究展望，讨论了如何用实证方法验证该模型所得的结论，并讨论了本文文章一些可能的拓展方向。

1 模型假设及模型均衡分析

1.1 模型假设

假设某市场上有两家生产同质产品的企业，分别记为厂商1与厂商2，均匀分布在长度为1的“线性市场”。它们共同为消费者提供产品，每个消费者对产品有1单位的需求，该单位产品对消费者产生的效用为v(假设v足够大，使得任何位置的消费者都会购买其中一家厂商的产品)。x位置的消费者若选择购买厂商i(i=1,2)的产品，其效用函数为

ui(x)=v-pi-τ(x-li)2

(1)

其中li为厂商i的位置，(x-li)2是消费者的交易成本，pi是厂商i确定产品的价格，v与τ均是公共信息。

由对称性，我们假定l1≤l2。当l1=l2时，两个厂商均分所有市场份额；当l1

v-p1-τ(x-l1)2=v-p2-τ(x-l2)2

(2)

此时很容易得出：两厂商的市场需求分别为：q1=x*，q2=1-x*。

此外，我们假定厂商1和厂商2相互持有彼此的股份。具体来说，厂商1持有自己λ的股份(λ>1/2)，持有厂商2的(1-λ)的份额；厂商2持有自己λ的股份，持有厂商1的(1-λ)的份额。因此，每个厂商在做决策时，不再单纯使自己的盈利极大化，还要考虑对方的盈利。因此，厂商1与厂商2的利润函数分别为

(3)

参考文献[5]，假设厂商1与厂商2选址与定价的决策顺序为：

第1步，两个厂商同时选定自己的位置l1与l2；

第2步，给定两个厂商选定的位置，双方再同时决定产品的价格p1和p2。由此，双方选择 (l1,p1)与(l2,p2)以极大化自己的最终收益。

此两阶段完全信息Stackelberg博弈模型可简述为如下优化问题:

(4)

1.2 均衡结果分析

分析模型(4)，我们可给出如下定理：

定理1当厂商的位置l1与l2给定时，双方的定价为

(5)

(6)

证明厂商 1 的问题为

容易看出

二阶条件满足。

注1当λ=1时，我们有

这就是D’Aspremont等人最初考虑的模型所得到的结论。

注2考虑厂商采用对称策略，即当l1+l2=1时，双方的定价为

注2说明了对厂商1而言，减小l1，即增大产品差异化程度时，x*会减小，从而它会损失市场份额。同理，对厂商 2而言，增大l2，x*会增大，也会损失自己的市场份额。又由于之前的讨论，增大产品差异化程度，会使得自己产品的价格增大，从而，选择最优的l即在产品定价高低与市场份额的大小之间的权衡。

定理2记λ*为方程4λ2(2λ-1)-1=0的唯一实根。则当λ*<λ≤1时，若限制厂商只能在(0,1)上选址，则有

(7)

(8)

若不限制厂商在(0,1)上选址，则有

(9)

(10)

从而，厂商 1 的问题为：

一阶条件为：(2λ-1)(l1+l2)(l2-3l1)-4(4λ3-3λ+1)l1+4λ×(2λ2-λ-2)=0,厂商 2 的问题为：

一阶条件为(2λ-1)(l1+l2)(3l2-l1)-4(4λ3+λ-1)l2+4λ(2λ2+λ+1)=0,双方的一阶条件相加，得(l2-l1-λ(2λ+1))(l1+l2-1)=0，考虑对称解，即l1+l2=1的解，代入一阶条件，得

且有

2×(4λ3-3λ+1))

2×(4λ3+λ-1))

当4λ2(2λ-1)>1, 即λ*<λ≤1时，有

其中λ*是4λ2(2λ-1)-1=0的唯一实根，为0.7328。又由于

由此可见，在企业间相互持股时，最优的选择仍是追求产品的最大差异化。因此，我们可得出如下结论：

(1)当不限制厂商的选址范围时，

可计算出两厂商的利润为

(2)当限制厂商的选址范围时，若限制厂商只能在(0,1)上选址，则有

可计算出两厂商的利润为

当λ=1时，上述结果与文献[5]的结果一致。说明了本文模型是文献[5]中模型的广义拓展。

2 模型参数分析

本部分我们讨论持股参数λ的变化对均衡结果的影响。我们可求

并且

这说明了随着λ的下降，也即随着相互持有对方股份比例的增大，厂商均会追求更大的产品差异化，并且差异化的速度越来越快。这一过程如图 1 所示。

此外，还可计算得

这说明了随着相互持有对方股份比例的增大，价格会逐渐上升，并且增长幅度越来越快，从而利润越来越大，这一过程如图2所示。

3 结论与研究展望

本文主要讨论了企业相互持股下的区位竞争模型，得到的主要结论如下：随着相互持有对方股份比例的增大，企业会生产更具差异化的产品，以获得更大的利润。并且，随着相互持股比例的增大，企业追求产品差异化的速度是越来越快的。但本文研究中也存在一定的不足，如：在本文研究中并没有给λ*这个分界点一个合理的经济学解释。这也是我们接下来要研究的问题。

除此之外，本文也给实证检验提供了一个理论参考。我们考虑如下计量模型：

yij,t=αi+αj+γt+δλij,t+ηλij,t+Xitβ+vij,t

其中，y为衡量产品差异化的指标，α为个体效应，γ为时间效应，λ为文章所述的企业i在企业j中的股权持有比例，X为其他的一些控制变量。此回归模型主要关注参数δ与η是否显著为正。此模型的最大难点在于y应采用何种度量方式。在一个行业中，我们一般只有产品的工业数据，但是单纯用这些数据来衡量产品的差异化程度似乎不足以说明问题。比如著名的手机品牌iPhone与Galaxy S系列，其系统软件覆盖量不一，硬件层面上，从处理器到屏幕都各有不同，如何数字化度量这些差异，实际上是考察产品差异化程度的最大难点。

该模型还有一些其他的拓展方向。比如，在真实环境中，人们的成本τ包括主观成本与客观成本，那么综合起来，它应该是私人信息。因此有两个值得拓展的方向，第一，在异质性条件下 (即每个位置的消费者的成本不一致，为τx)，消费者如何通过发送有干扰的信号来实现自己的成本，从而影响企业的定价的。第二，企业如何通过有成本的搜索消费者的个体信息来实现最优定价的。当涉及到私人信息时，得到的结论应该与本文得到的结论有所不同。以上分析均是本文下一步要研究的工作。