数学核心素养视角下的解题探究

朱小扣

《普通高中数学课程标准（2017版）》中指出：“学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格与关键能力，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度及价值观的综合体现，是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的.数学学科核心素养包括：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，运算能力，数据分析，这些核心素养既相对独立又相互交融，是一个有机的整体.”但是数学学科的核心素养怎么考？这是一个困扰广大数学工作者的问题.笔者将通过分析2018年以来各地的模拟考试试题，阐述六大核心素养的命题形式及解决方法.

一、数学抽象

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.它反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论—般、有序多级的系统.

点评 本题通过建立直角坐标系，让学生能从情境中（即蜂巢结构图）抽象出数学的概念及方法，从而使得问题得到简化及解决.这样出题可以培养学生从具体到抽象的活动经验，有利于学生把握事物的本质，以简驭繁，运用数学抽象思维方式思考并解决问题.

二、逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类推理形式主要有归纳、类比;一类推理形式主要有演绎推理.

点评 上述两题通过数列的归纳、类比，实际上，就是从已有的知识和具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想等手段在某种情境和过程中推出可能性结论的推理.要做此类题时，一定要大胆猜想，这样就可以让学生学会有逻辑地思考问题;能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，由简到繁，把握事物发展的脉络，从而能更好的认识事物的本质及变化规律.

三、数学建模

数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.

点评 通过构造距离型函数模型可以使得问题得到化归，迅速解决上述两个问题，使得学生理解数学建模的重要性.数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.

四、直观想象

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律，利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

例如学生掌握了三棱柱各个面延展分空间21个部分，正方体各个面延展分空间27个部分及其他棱柱的情形，那么三棱锥各个面延展可以把空间分成多少个部分？三棱台各个面延展可以把空间分成多少个部分？学生掌握和理解起来不容易，借助直观想象，笔者是按如下方法这样解释的.

例6 三棱锥各个面延展可以把空间分成多少个部分？三棱台各个面延展可以把空间分成多少个部分？

解析 （1）如图7，现将三棱锥O-ABC特殊成OA，OB，OC互相垂直，将其放在如图7所示的位置，8个卦限中，只有第七卦限没有被平面一分为二，其他的卦限都一分为二了，故有8+7=15个，类似的可以得到普通的三棱锥也是15个.

（2）如图8，类似第一问的解答，将三棱台ABC-A1B1C1放在如图8所示的位置，易知答案為：7+7+8=22个.

例7 （2018年山西一模）一个正方体的三视图如图9所示，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正方体的体积是.

解析 由题意可知，该正方形的一条对角线即为俯视图的方向（如图10），距最高点最近的三个点构成的平面与俯视方向垂直（如图11），由俯视图中正六边形的边长为1，可得图12中OA=1，即图11中OA=1，易得正方体的面对角线长为3，进而得棱长为62，故体积为364.

点评 正方体的三视图是学生最熟悉的三视图，但是这题“倒”着放的正方体三视图解决起来，却让人举足无措，通过这样考更能考察学生的能力.借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力.

五、数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.

点评 上述例题说明了在解析几何中，除了传统的方法外，还有齐次化方法，双根法，点差法，点乘法，极坐标等多种更简单的解法.类似地，在解决其他题目时，也可以一题多解，多种方法的融合可以进一步发展学生数学运算能力，有效借助运算方法解决实际问题.

六、数据分析

数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论.

例9 （巴蜀中学2018届高三1月考）统计显示，2011年之前，方便面销量在中国连续18年保持两位数增长，2013年的年销量更是创下462亿包的辉煌战绩;但2013年以来，方便面销量却连续3年下跌，只剩385亿包，具体如表1所示.相较于方便面，网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来，网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化.

附题：

（2011年安徽省高考文科20题）某地最近十年粮食需求量逐年上升，表2是部分统计数据.

（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.

点评 本题直接用时间代号比2011年安徽省文科高考第20题更简单，有时也会用Eaξ+b=aEξ+b，Daξ+b=a2Dξ等其他公式处理数据，也是为了引导学生找到最佳处理数据的方法，发展整理和处理数据能力.从而提升学生获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力.

总结 林新建老师说过：“数学思想是数学素养的核心内容，唯有立意于思想，树立起运用思想引领解题的意识，才能真正培养和提升学生的数学核心素养.”为了发展学生的数学学科的核心素养，发展素质教育，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人，作为数学教育工作者的我，深感命题工作与教学工作的责任重大，但如何才能更好的发展核心素养呢？——“问渠哪得清如许？为有源头活水来.”实际上，只有从源头将核心素养融入命的题中，才能让学生在解题中理解和发展核心素养，我们不能让学生去证明一个假命题，也不能让学生去解一个无解的错题，只有反复斟酌，才能命出好题，希望本文对围绕核心素养命题的剖析，能帮助到大家.

（收稿日期：2018-11-12）