带有临界项的Klein-Gordon-Maxwell系统解的存在性

杜玲玉, 李安然

(山西大学 数学科学学院, 山西 太原 030006)

受文献[1-2]中的研究方法启发,本文主要讨论式(1)负能量解的存在性结果, 其中q∈(1,2),w≥0以及λ>0.

(1)

(2)

x∈R3,

(3)

在文献[5]中,Cassani研究了带有临界项和低阶扰动的Klein-Gordon-Maxwell系统(即式(3)),并得到如下结论:

(1) 当|m0|>|w|,40,式(3)存在一个径向对称解;

(2) 当|m0|>|w|,q=4,且当μ非常大时,式(3)存在一个径向对称解.

1 主要结果

本文主要研究带有临界项的Klein-Gordon-Maxwell系统的一列负能量解的存在性.首先,我们假设函数h满足以下条件:

(h1)h∈L2/(2 - q)(R3),h≥0,并且h≢0;

(h2)h∈L6/(6 - q)(R3),h≥0,并且h≢0.

定理1 假设条件(h1)或(h2)成立,则存在λ*>0,当λ∈(0,λ*)时,系统(K)存在一个解(u,φu)∈E×D1,2(R3).

定理2 假设条件(h1)且(h2)成立,则存在λ1>0,当λ∈(0,λ1)时,系统(K)存在一列趋于0的负能量解.

定理4 假设条件(h1)且(h2)成立,则当λ∈(0,λ1)时,系统(K)存在基态解.

2 主要结果的证明

引理1E紧嵌入Lp(R3),p∈(2,2*).

命题1 对每一个u∈E,存在唯一的φu∈D1,2(R3),使得(u,φu)成为系统(K3)的解,并且有下面的结论成立:在集合{x∈R3:u(x)≠0}上,有-w≤φu≤0成立,其中w>0.更进一步,可以得到:

证明 根据Lax-Milgram定理,可以得到系统解的存在性和唯一性.在第二个方程的两端同时乘以(w+φu)-=min{w+φu,0},得到:

当w>0时,就有φu≤0.

现在,定义系统(K)相应的能量泛函I:E→R为

根据h1,h2的假设条件和命题1,知道I的定义是合理的,且I∈C1(E×D1,2,R),

容易知,泛函I的临界点是系统(K)的弱解.

引理2 存在λ*>0,α>0以及ρ>0使得当λ∈(0,λ*),‖u‖=ρ时,I(u)≥α.

证明 下证当条件(h2)成立时,结论成立.

根据命题1,Hölder不等式,Soblev不等式以及|u|D1,2≤|u|,可以得到:

命题2 (对偶喷泉定理I∈C1(R3,R)且I(u)=I(-u),当k∈N,存在ρk>rk>0使得:

(B1)ak∶=infu∈Zk,‖u‖=ρkI(u)≥0,当k→∞;

(B2)bk∶=maxu∈Yk,‖u‖=rkI(u)<0;

(B3)dk∶=infu∈Zk,‖u‖≤ρkI(u)→0,当k→∞;

那么I有一列临界点序列{uk},I(uk)→0.

存在可数集J,{xj}⊂R3,j∈J,使得

进一步,有下面的式子成立:

其中S是最佳Soblev嵌入常数,δxj是xj处的Direc测度.

易知存在{νn:n∈N|⊂E,{φn:n∈N}⊂E*使得:

(1) 〈φn,νm〉=δn,m,其中当n=m时,δn,m=1,当n≠m时,δn,m=0;

引理4 如果满足条件(h1),(h2)时,则I就满足(PS)c序列,

证明 设{un}是E中的(PS)c序列,即{un}→∞,I(un)→c,使得

根据E连续嵌入到Ls(R3),s∈[2,6],所以有

(4)

令截断函数φ≡1,当x∈B(xj,ε);φ≡0,当x∈B(xj,2ε)c,|

另一方面,

由式(5)～式(10)可得μi≤νi.代入得νi≥S3/2或νi=0.另外,根据Holder和Young不等式,有

定义截断函数φ1≡1,当|x|≥2R;φ1≡0,当|x|

同时,有式(12)成立:

同前面证明类似,

另一方面,

(15)

(16)

(17)

由式(12)～式(17)可得μ∞≤ν∞.代入可得ν∞≥S3/2或ν∞=0.

若ν∞≥S3/2成立,则可得:

又因为

即

即

(21)

由〈I′(un),un〉=o(1)可以得到

又因为〈I′(u),u〉=o(1),可以得到

由式(20)～式(23)可得到:

令t→0,得出

(24)

把式(24)中的φ换成-φ,就得到

(25)

由式(26)和式(27),结合式(20)和式(21)可以得到:

定理2的证明 定义

(2) 因为Yk是有限维空间.它上的所有范数都等价,对任意rk>0足够小,命题2(B2)都成立.

因为βk→0,ρk→0.于是就有,当k→∞时,命题2(B3)都成立.

根据命题2,定理2成立.

定理4的证明 由定理1可知M非空,从而m的定义是有意义的.根据m的定义,存在{un}∈M是一个(PS)m序列,通过引理4和定理2就有I(u)=m,从而定理4得证.