初中数学“分式”的深度学习

2019-07-03山东省淄博市张店区第九中学高轶群

中学数学杂志 2019年12期

☉山东省淄博市张店区第九中学高轶群

☉山东省淄博市张店区第九中学牛文军

分式属于代数式的外延，是用来表达情境数量关系和解决生活问题的一种工具.它与整式、分数、方程、不等式、反比例函数及图形部分都有着千丝万缕的联系，对它的掌握程度直接影响到对这些内容的掌握.所以，教师要深入理解分式的概念，探究它的本质，通过现象观其“形”，透过本质抽丝剥茧观其“里”，兼顾内外全面理解探究分式的内涵.

一、透过数学史，观分式之背景

分式源自于代数式，想要透彻地理解分式，首先需追本溯源到代数式.人类数学发展史中首先出现的是具体的“量”，如1棵树、3只羊等，经过漫长的岁月洗礼，“量”也得到相应的发展，产生了如1、2、3、、等具有抽象意义的“数”，这是具体的“量”发展为抽象的“数”的过程，也是数学史上一次“质”的飞跃，“数”的产生决定了算术理论的产生.随着人类思维的发展和生活现实的需要，抽象的“数”也不能满足人类的需求了.如：想要表述数量之间的规律性，例如，加法或乘法交换律等，用纯粹的“数”难以表达清楚，数学史上的第二次“飞跃”应运而生，即使用字母代表相应的数.法国的韦达先生在1591年，在总结前人“数”的经验基础上，通过《美妙的代数》这本书，表达了使用一些字母符号对已知和未知的数量关系进行表达，打响了代数和算术区别的第一枪.抽象的字母符号在代数中使用的方式，有效地推进了代数的历史发展“.数”和“字母符号”同时参与数学运算的方法使“代数式”走上数学史的大舞台.

人类文化早期阶段，分数随着生活的实际需要，在均分和度量的基础上产生.生活中的两个数无法进行整除，则使用分数来表达其结果.所谓的分数，“分”源自于平均分配，这也是“分数”名称的由来.从分数到分式的变化，除了“形似”，还要把分数的分母、分子从具体的数朝字母表示的数发展.如、、……之间的规律可以使用字母表达，分式也随之产生.同样，在整式相除的运算中，也需要将分式运用到其中.因为分式和分数在形式上雷同，根据人类常规思维模式，根据分数的名称命名分式.当前数学教材中，对于分式使用的是形式性概念，如：字母A和B分别是两个整式的代表，而字母B中又含有字母，则这个代数式就称为分式，字母A是这个分式的分子，字母B是这个分式的分母.

二、代数思想，解析分式内涵

分式具有分数的一切特点.但是，代数式又有着区别于分数的内涵，它的抽象性决定了自己具有独特的基本属性.

1.分数与分式的比较

分式起源于分数，是在分数的基础上，根据生活需要而衍生出的新内容.运用字母代表“数”，将一些辩证思想渗透到分式中，使分数与分式产生横向的关联.由此可见，分数与分式性质相通，形式相同，分式可以理解为分数的一种常用形式，而分数又是分式的特别案例.在数学课堂学习中，根据分式和分数的性质进行对比和转化的过程中，既要符合表面的“形”，也要深入理解由“形”导致的内涵之变.分式的运算中，要根据其性质和属性进行类比分析，找出其中的异同点.

2.分数到分式的转化

（1）分母为0的情况.

分母在分式中代表的是除数，在数学运算中0是不可以做除数的，所以，在分式中，0不可以作为分母.那么，分式的概念中，怎么没有附加上B≠0这一条件呢？其实，分式就代表着除法运算，既然是除法运算，就已经包含了0不做除数的条件.此时，在分式概念中再添加B≠0这一条件，会显得多此一举.如果添加上B≠0这一条件，容易让学生误解为分母永不能是0，而分式中的分母应该是它的值不能为0.这也是有意义和无意义分式的区别.若分式值是0，不能仅仅关注分式中的分子值为0，还要注意分母的取值不能为0.在y=（k是常数，k≠0）这个反比例函数中，x≠0的取值范围由分母不是0所决定，简而言之，只要是蕴含除法运算的函数关系，其分母均不为0.

（2）去除假分数、带分数等类似的概念.

例1已知：，…，寻找出其中的规律，第n个等式是__________.

这些情况是数到式的变化.