激发探究热情，助力思维提升——一道压轴试题的探究之路与感悟

☉江苏省无锡市河埒中学 丁 洁

☉江苏省无锡市雪浪中学 金 花

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.”数学探究是新课改所倡导的重要教学方式，让学生在探究中获得知识、发展能力，已成为数学教学的一种追求.受应试教育的影响，部分教师在课堂教学中，往往重视结果的呈现，忽视对知识的探究，导致学生在面对新问题时无从下手.如何让学生在独立面对问题时“想得到”“做得到”？笔者认为，可以在课堂教学中引导学生对问题进行多角度的探索，充分发挥学生的潜能，培养学生的思维.近几年来，“探索运动过程中动点运动路径问题”常常成为各地中考压轴试题，这类问题不仅蕴藏了丰富的知识，还揭示了事物的变化规律，难度较大，学生得分率较低.因此，笔者借助一次试卷评讲，有意识地进行了一次数学探究，与学生一起经历了一场思维风暴.

一、课堂教学实录

试题：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，以AB为斜边向下作Rt△ABC，∠BCA=90°，AC∶BC=4∶3，连接OC，则OC的最小值为_______.

图1

统计反馈：作为填空题的压轴题，平均得分只有0.5分，得分率仅为25%.通过与学生的交流，得知很多学生粗读题目后，不知其所以然，再加之测试时间较紧，很多学生不得不选择放弃.于是，在评讲的时候，预留了几分钟给学生再思考.

生1：对于本题，可以从局部出发，寻求一个较小的切入点.由题意知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，从特殊图形出发，构造“K”形相似图形.

（在生1的启发下，我看到不少学生若有所思地点头，看来比较赞成抓住这个切入口.执教教师示意学生开始尝试，并随机找了一名学生做示范）

生2：如图2，依据∠BCA=90°，构建外“K”形，得△BHC △CTA，所以.因为点B为直线y=2上一动点，可设点B（m，2），设点C（x，y），则，化简为，由此可求出OC的最小值为.

图2

图3

师：还有其他方法吗？

生3：既然点C的轨迹是一条直线，求OC的最小值可转化为求点O到直线MN的距离.如图3，设直线分别与x轴、y轴交于M、N两点，这样在△MON中，斜边上的高OP的长度为.此时函数问题转化为几何问题，数形结合更为简单！

（话音刚落，掌声响起，在学生释然的表情中，相信这个灵感给学生很大的启示，使他们思维更活跃）

师：大家还有其他更好的办法吗？

（学生开始积极讨论了起来.）

生4：既然C点的轨迹是一条直线，那么我们只要找两点，就能确定这条直线.

师：取哪两点呢？

（学生忍不住开始七嘴八舌了）

生：C点应由B点的变化来求，取特殊的C点，那就需要特殊的B点……

（学生跃跃欲试，纷纷尝试取特殊点，用特殊替换一般）

生5：利用条件中的“Rt△ABC”，直角三角形特殊位置应为“横平竖直”，如图4，根据三角形的两条直角边之比，可以求出B1C1=B2C1=，得点由C、C两点的坐标也可求得直线CC的解析式为y=x-12121，再用刚才的代数方法和几何方法可求出OC的最小值.

图4

师：很棒，还有其他方法吗？

（学生一脸狐疑，原本以为已大功告成，没想到背后另有玄机）

师：还记得之前我们做过的一题，两个动点到定点的距离之比为定值，且连线的夹角保持不变，相当于将“主动点”旋转变换到“从动点”，所以“从动点”与“主动点”的轨迹相似，根据“主动点”和“从动点”之间的旋转缩放关系，对“主动点”的运动路径做相同变换以确定“从动点”的轨迹，这是整体的旋转模型思想.

（学生纷纷点头，并思考片刻）

师：以定点A为旋转中心，将△ABC旋转缩放得△AOO′，同时“生出”一对相似三角形，即△ACO △ABO′.

生6：如图5，旋转路径既可以看成由点B转至点C，也可看成由点C转回点B，根据旋转相似模型，由可知，与此同时，点O转至点O′（0，3），构造了“一点四线”的相似，要求OC的最小值，可转而求O′B的最小值.

图5

（话音刚落，学生纷纷开始尝试，随即进行完美呈现）

生7：由点B（m，2）、O′（0，3），得|O′B|=，则O′B的最小值为1.又，则OC的最小值为

师：抓住“一定两动”构建“路径旋转模型”，通过对“主动点”路径上的关键信息做相同的旋转缩放，即可确定“从动点”轨迹的关键信息，从而解决问题.

（学生不停地点头）

师：刚才几位同学从几个不同角度进行了探究，有的采用局部切入，有的运用整体模型思想.希望大家保持这种探究热情，提升我们的思维品质……

二、感悟与反思

上完这节课，笔者心情久久难以平复，数学探究的过程很精彩，学生的思维在碰撞，产生的思维火花有助于学生理解、掌握知识和方法，提升思维品质.

1.数学探究应选取合适的问题，激发学生的探究欲望

数学是思维的学科，解题是思维的载体，在解题教学中开展数学探究是提升数学思维的有效途径.数学探究往往以问题驱动，其中问题的选取很重要.

（1）问题要能激发学生的探究热情.

本题具有一定的挑战性，得分率很低，一些基础好的学生急于知道正确的解答及难在何处，亟待教师的帮助，学生的探究热情高涨.

（2）问题要落在学生的最近发展区内.

本题的知识、方法都是学生原来经历过的，只是有一定的综合性.合适的问题，再经过教师合理的引导，经过学生多角度、多方位的探究，学生可以“跳一跳”摘到“桃子”.

2.数学探究应理解学生，促使学生积极思考

（1）以学生为主体.

数学探究的主体是学生.因此，首先要尊重学生，理解学生.由于不同学生的感知能力、认知水平、心理素质等方面都存在差异，所以不同学生理解问题的视角也是不同的，大部分学生偏向几何直观，有的学生侧重于理性分析、数学推理.作为教师，要正视学生之间的差异，尊重学生潜在的创造力，顺应学生的思维，切莫“生拉硬拽”.本节课，笔者努力让每一名学生“发声”，让每名学生都学有所得.

（2）加强适当的引导.

因为课堂的限时性，要把学生的思维由形象思维逐渐过渡到理性思维.在活动中，教师要营造一个探究性学习的氛围，一个启而不发的班级和一个积极思考讨论的班级，学习的效果是截然不同的.本课中，教师要先请数学“积极分子”抛砖引玉，这好比在干柴上加了一把火，容易营造活跃的课堂氛围，促使学生积极思考.本题的不同解答及师生的归纳小结，也教会学生如何思考，以服务于数学教育的根本目标.

3.数学探究应注重反思，将解题经验转化为学科核心素养

（1）在反思中提炼经验.

上述探究过程，是师生逐步探究、不断深化、优化的结果，其思维价值非常明显.因此，需要特别注重反思.反思这次探究活动，学生可以从中收获很多经验：“局部切入”和“整体处理”的解题策略，数形结合、特殊值代入等解题方法等.局部切入法，对于思维程度一般的学生而言，在解决问题的过程中，更多的是依赖图形直观和直觉思维，这样想法自然，起点较低，易于操作.

（2）在探究中发展素养.

本题通过局部提炼条件“△ABC是直角三角形”，让学生眼见为实，并且可以做到看图说话，解法自然；整体处理法，对于思维水平较高的学生来说，在解决问题的过程中，宏观审题，宏观决策，抓住“一定两动”构建路径旋转模型来解决问题，运算简洁.从最近发展区到优化思维，使层次不同的学生，运用不同的视角，都能得到一定的思维训练，从而培养学生的模型化思想.学生在上述探究问题解答的过程中，都在进行推理和运算，也有益于学生提升数学推理、数学运算等学科核心素养.而数学学科核心素养又能反过来帮助学生看清问题本质，提高知识迁移的能力，使学生变得越来越聪明.

通过本节课，笔者还欣喜地看到，大多数学生在分析问题、解决问题、提出疑问中，不断完善思路.学生既经历了探究问题的过程，也培养了解决问题的能力，这样的思维风暴充分彰显了学生的主体地位，进一步点燃了学生的学习热情，使数学课堂“百花齐放”，极大地促进了学生思维能力的提升！