关注核心素养，立足全面发展——以“微专题探究：看似无圆却有圆”为例

☉山东省淄博市淄川区杨寨中学 刘 慧

☉山东省淄博市淄川区杨寨中学 王 廷

一、引言

2014年3月30日，教育部在《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中提出“发展核心素养体系”.从此，一个崭新的名词“核心素养”进入了大众视野，并引起了广泛关注.

2016年9月13日，《中国学生发展核心素养》正式发布，明确指出中国学生发展核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与3个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新等六大素养，具体细化为18个基本要点.至此，由课题组历时3年完成的核心素养体系终于完成，也为广大教师今后的教学实践指明了方向.

在当前的数学教学实践中，如何关注核心素养，从而培养学生全面发展，是每一位教师面临的新课题.下面，笔者以“微专题探究：看似无圆却有圆”为例，谈谈对此的实践探索及思考.

二、教学实践

1.课前热身，引入课题

热身题：如图1，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠BAC=20°，∠CAD=80°，则∠BDC=_____，∠DBC=_____.

图1

图2

教学说明：本题是有关辅助圆的一道经典题.此题可以用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质来解决，但比较烦琐；也可以添加辅助圆（如图2）来解决，会简单许多.学生先利用课前时间完成此题.课堂开始，教师引用美国数学家维纳所说的“钻研数学，这是一种需要全部灵活性和刻苦耐劳的智力体操”进行引入，自然过渡到热身题.教师选取不同的学生展示自己的解题方法，引导学生分析、对比不同的方法，从而引出本节课的课题“微专题探究：看似无圆却有圆”.

2.模型提炼，拓展思维

（1）模型一：到定点的距离等于定长.

问题：（1）通过热身题，思考：题目中出现什么条件时可以添加辅助圆？依据是什么？

（2）通过热身题，可以得出添加辅助圆的哪种模型？

教学说明：通过这两个问题引导学生积极思考，发现题目的特点，总结添加辅助圆的基本模型：到定点的距离等于定长，并理解这种模型的基本依据.这里较多的学生认为添加辅助圆的依据是“圆的半径相等”，这其实并不准确，严格来说应该是圆的静态定义：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆.

（2）模型二：四边形对角互补.

例1 如图3，Rt△ABC和Rt△ABD的斜边重合，且AC=8，BC=6，∠BAD=45°，连接两个直角顶点C、D，则线段CD的长度为_______.

问题：（1）当题目中出现什么条件时，可以添加辅助圆呢？依据是什么？

图3

图4

（2）更一般地，如果∠ACB和∠ADB互补（如图4），那么A、B、C、D四点还在同一圆上吗？

教学说明：例1是由一道习题改编而成的，原题图中是有圆的，笔者特意将此题中的圆隐去，旨在让学生自己分析题目特点，从而发现其中隐藏的圆.学生根据“两个直角三角形有公共斜边”这一特点，不难添加辅助圆，但对于添加的依据依然不甚明了.教师需引导学生把此问题转化成模型一，即找到公共斜边的中点O，连接CO和DO（如图5），根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到AO=BO=CO=DO，再利用模型一的结论即可说明添加辅助圆的原理.添加了辅助圆之后，这个例题也就不难解决了.接下来教师追问问题（2），对于这个问题，学生基本能猜想到结论，但原理依然不清楚，很多学生认为是“圆内接四边形对角互补”，这也是不准确的.这个结论的证明可以用反证法.由于这个方法初中阶段涉及较少，学生比较陌生，且不是中考考查内容的重点，因此，笔者在这里采用了微课教学的形式，把证明过程录制成了一个微课视频，一方面，可以减轻课堂容量的压力，另一方面，可以进行资源共享，让学生课下拓展学习.通过这两个问题，可以得出第二种添加辅助圆的基本模型：四边形对角互补.

（3）模型三：同底同侧张等角.

问题：（1）如图6，如果把图5中的△ABD翻折到上方，与△ABC在AB的同侧，那么A、B、C、D四点还共圆吗？

（2）如图7，如果∠ACB=∠ADB=α，那么A、B、C、D四点还共圆吗？你能得到更一般的结论吗？

教学说明：这两个问题是在模型二的基础上，借助轴对称变换及类比的方法进行拓展引申，从而得到添加辅助圆的第三种基本模型：同底同侧张等角.有了前面模型二的探索，学生不难得到结论，且对于辅助圆的添加依据也会通过类比轻松获得.

图5

图6

图7

图8

（4）模型四：动点定角度对定线段.

例2如图8，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____.

拓展：如果∠APB=α（α是定值），点P的运动轨迹又是什么呢？

教学说明：这个例题是动点求最值的问题.对于动点问题，学生往往不能结合条件找到动点的运动轨迹.为了帮助学生克服这个难点，笔者借助几何画板来进行动态演示.通过对条件的分析，可以发现动点P始终满足∠APB=90°，借助几何画板可以清晰观察到点P的运动轨迹是一段圆弧（如图9），于是问题就转化成了“圆外一点到圆上一点的最小距离”问题，例题自然就可以解决了.接下来笔者追问拓展问题，有了前面模型二和模型三的探索，结合几何画板的动态演示，学生会得到更一般的结论，即：当α是直角时，点P的运动轨迹是除点A和点B外的圆（如图10）；当α是锐角时，点P的运动轨迹是优弧（如图11）；当α是钝角时，点P的运动轨迹是劣弧（如图12）.从而，得出添加辅助圆的第四种基本模型：动点定角度对定线段.

图9

图10

图11

图12

3.模型总结，凝练精华

通过之前的探究，请同学们总结一下：我们得到了哪些辅助圆的模型呢？请同学们把基本图形画出来.

教学说明：学生独立画出辅助圆模型的基本图，同时学生代表上台板演.通过这个环节，学生对前面零散的模型进行系统整理.部分学生可能画得不全面，通过组内交流共享，可以进一步补充完善，接下来师生共同总结，形成完整的知识链.

4.模型应用，体验成功

练习1：如图13，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E 是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是______.

练习2：如图14，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED.求证：

图13

（1）△MED为等腰三角形；

（2）∠EMD=2∠DAC.

图14

图15

练习3：（选做）如图15，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为________.

教学说明：练习1是一个动点问题，通过此题让学生进一步体会辅助圆在解决动点问题时的作用.学生在展示此题时结合了几何画板，可以更直观地观察到动点的运动轨迹.练习2是对第三种模型的应用，通过此题来弥补该模型没有例题对应的缺陷，同时通过学生板书，规范学生的解答过程.练习3对应最后一种模型的一般情况，难度稍大，供学有余力的学生选做，体现分层教学.

5.总结收获，感悟升华

师：同学们，这节课有什么收获呢？

教学说明：学生自由发言，谈谈体会和收获，把学到的知识、方法、思想进行升华提炼.这一环节，学生往往停留在对知识点的总结上，教师要引导学生积极感悟本节课在数学方法和思想上的收获并进行合理表达.

6.教师寄语，师生共情

教师寄语：只要做到图中无圆，心中有圆，你就能成为解决数学问题的有“圆”人！祝同学们中考成功！

教学说明：通过教师寄语，让学生在语言上感受数学的魅力，同时对学生即将进行的中考表示祝福，与学生产生共情，从而激励学生为今后的数学学习继续努力.

三、核心素养分析

笔者通过上述课堂教学实践，力求让学生在核心素养方面有一定的发展.下面笔者结合具体的实践过程，对可以培养学生哪些核心素养做进一步的分析.

在人文底蕴方面，笔者通过一开始的名人名言及课堂尾声的教师寄语，让学生对数学文化的人文积淀和人文情怀有一定的感性体验.另外，在探究模型三时，笔者运用了轴对称的动态变化，让学生感受到了几何图形的变化之美，有利于培养学生的审美情趣.

在科学精神方面，通过模型提炼环节，让学生积极探索添加辅助圆的几种常见模型，从而培养了学生勇于探究的科学素养.同时，在探究的过程中，学生经历了从特殊到一般、从静态到动态、从形象到抽象的过程，从而有效提升了理性思维的能力.在探寻添加辅助圆的依据时，学生出现了不少问题，通过教师的引导和学生的讨论，最终明确了真正的依据，在此过程中可以锻炼学生的批判质疑精神.

在学会学习方面，通过课前热身环节，让学生充分利用课前的点滴时间进行课前准备，从而培养了学生乐学善学的素养.在模型总结环节中，学生自己画辅助圆的基本图形，然后组内共享订正，这样可以引导学生重视总结数学思想方法和技能，从而培养了学生勤于总结、勤于反思的数学素养.另外，在做练习1时，个别学生看到动点始终是直角顶点，误以为是第四种模型，这是一种非常典型的错误，经过师生的共同讨论，学生发现了此题中虽然动点的角度是定值，但所对的线段不是定值，因此不属于第四种模型.通过对易混知识点的区别和辨析，进一步发展了学生勤于反思的科学素养.

在健康生活方面，学生在课前热身、小组合作探究和独立解决习题等环节中都发展了自我管理的能力素养.

在责任担当方面，通过美国数学家维纳的名言，增加了学生对数学文化的国际理解.

在实践创新方面，学生在模型应用环节中，能积极运用所学的基本模型来分析题目，构造出辅助圆从而解决问题，有效提升了问题解决的能力.同时，在解决问题的过程中，进行展示的学生能结合几何画板来演示动点的运动轨迹，锻炼了对技术运用的能力.

四、结语

数学知识是培育学生数学核心素养的土壤，而数学课程与教学是发展学生核心素养的重要途径.基于核心素养的课堂教学需要教师关注核心素养体系，以培养学生全面发展为落脚点，将核心素养的理论知识切实贯彻到课堂教学的每一个环节中，这需要每一位教师在教学过程中不断探索和实践.