去伪呈真：人教版“23.1图形的旋转”的修订建议*

☉江苏省如皋市石庄镇初级中学 印冬建

在人教版教材中，“旋转”被安排在九年级上册.本章共安排了“图形的旋转”“中心对称”“课题学习：图案设计”等三节教学内容.其中，“23.1图形的旋转”是本单元的核心内容，它是学生认知“特殊的旋转图形”——中心对称图形的基础.因而，帮助学生准确理解旋转的定义、探索旋转的性质就成为了教学的关键.然而，人教版教材“23.1图形的旋转”中的诸多“瑕疵”不利于上述目标的达成，需要教材再版时修订完善.现呈现这些“瑕疵”并谈一些修订建议，希望能为完美教材的建设提供参考.

一、教材存在的问题

1.探究失真，不利于深度学习

教材再现：教材第60页“探究”：

在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移开硬纸板.

△A′B′C′是由△ABC绕点O旋转得到的. 线段OA和OA′有什么关系？∠AOA′和∠BOB′有什么关系？△ABC和△A′B′C′的形状和大小有什么关系？

紧跟“探究”的是对旋转性质的“归纳”：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等.

图1

问题分析：探究中，要求学生沿着三角形洞的边沿描出△ABC，待旋转一定角度后，再沿着三角形洞的边沿描出△A′B′C′.这样的“描图”操作，只要有些许生活经验的人都懂得“根据同一个‘模子’，描出的两个图形应该是一样的”的道理.显然，接下来教材给出的三个问题完全无视学生的已有经验，硬是“逼着”学生沿着“线段—角—三角形”的顺序展开性质探索，“归纳”三个结论.这样的探究，看似以学生已有的知识与经验为基础，实则不然，编者给出的看似合理的“描图”操作成为学生发现结论的基本途径，他们获得旋转的性质依赖于这种没有思维深度的操作与观察，“知识快餐”的形成让学生无法深刻体会到旋转过程中的“变与不变”，几乎每一个个体的学习都停留在浅表层面上，没有深度和广度，也就谈不上数学素养的提升了.

2.问题不清，不利于理解概念

教材再现：

题1：教材第59页练习3：如图2，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？

图3

图2

题2：教材第61页练习3：找出图3中扳手拧螺母时的旋转中心和旋转角.

题3：教材第62页习题23.1第2题：说出如图4所示的压水机的旋转中心和旋转角.

图4

问题分析：这些练习都要求学生“找（说）出图中的旋转中心和旋转角”.对于图中的旋转中心，学生根据定义是可以顺利找出的，这一点笔者没有异议.关于旋转角，教材是把一个平面图形绕平面内某一点O“所转动的角”叫作旋转角.显然，旋转角并不一定就是某一个能看得见的角，它应该是整个图形所转动的角，可以用具体的数据（度数）来表示.对此，多处教材有此陈述：教材第59页，结合图23.1-1（即图5）中时针的旋转给出了“旋转角是60°”，这里的旋转角是一个角度；教材第59页练习第2题，时钟的时针在不停地旋转，从上午6时到上午9时，时针的旋转角是多少度？问题“时针的旋转角是多少度”同样将旋转角定位为一个度数；教材第60页“旋转的性质”第2条“与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”，这里说的是“等于旋转角”，而不是“是旋转角”.因此，如果说我们可以将题1中的杠杆抽象成一条线段用∠AOA′表示旋转角，而题2和题3都是复杂物体的旋转，旋转角理应是整个物体转动的角，想要让学生从整体的角度来获得旋转角是不容易的.此外，对旋转角的分析应基于一个完整的转动过程，这在题1和题2的图中有很好的体现，然而，不知编者作何考虑，题3所呈现的图片中手压杆在出水位置，并没有如另外两题那样显示手压杆的起始位置.因而，要学生根据这样一幅静态的图片来明晰变换中的旋转角，显然是不太可能的.

3.情境不公，不利于普遍发展

教材再现：教材第62页习题23.1第2题，题目略.

问题分析：本题图片（图4）中所展示的是压水机出水的情形，压水机在我国农村曾经被广泛使用.选用这幅图，显然是考虑到了压水机曾经的“辉煌”，这与“呈现内容的素材应贴近学生现实”的教材编写要求是基本吻合的.正是由于压水机的大范围、普遍性使用，在最初看到这幅图片时，身在农村的我觉得还是与教学内容挺匹配的.因为身在农村，我无法考证城里的学生是否认识这个压水机，所以，也就一直持有“城里的孩子是不是认识它”的疑虑.时至今日，自来水迅速入户，压水机淡出了农村学生的视野，这时我已不只是纠结于城里孩子了，面对图4，我不得不追问：农村孩子还认识它吗？暂不论题目的解题要求上存在的问题，仅就压水机的使用而言，学生如果没有使用的经历也就谈不上生活的经验了，那么，让一群没有活动经验的孩子去“猜想”旋转中心和旋转角，与有着丰富生活经验的孩子相比，问题情境的设置显然是不公平的.笔者认为，像这种带有明显时代特征和区域特征的图片在教学中使用是不公平的，一线教师是无法借助教材推动所有学生发展的.尤其是人教版教材，其使用范围大，影响区域广，编写教材时应充分考虑创设情境的数学味和生活味，要选择那些普适性强、区域特征弱、认可度高的生活情境融入教材，使教材最大程度上实现其公平教学的价值.

图5

二、修订建议

1.改编教学流程，设置梯度追问

为了改变原有教材中探究“失真”的情形，笔者建议教材再版时对本节课的教学流程进行改编.笔者才疏学浅，无法如编者那样呈现文、图、符高度关联的教材语言，这里所呈现的是我心中的探索历程，仅供参考.

（1）观察图形，归纳概念.

利用图6、图7，让学生感知“旋转是一种有规则的转动”，并在对“规则”的追问中，分别归纳图形的旋转、旋转中心、旋转角的定义.

图6

图7

（2）抽象图形，形成结论.

基于图7，进行追问：如果我们将时针的针尖抽象为点P，你能用数学语言描述一下图7中的旋转吗？旋转前后的对应点P、P′到旋转中心O的距离有怎样的关系？旋转角可以怎么表示？如果我们将时针抽象为线段OP，图7中的旋转又可以怎样描述？OP与OP′有怎样的关系？进而引导学生归纳结论：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

（3）递进作图，探索性质.

学生活动：按下列要求分别作图：

①作出点A绕点O旋转60°后的对应点A′；

②作出线段AB绕点O旋转80°后的图形；

③作△ABC绕点O旋转任意角度（说明：角度自己确定）后的图形.

在学生给出了③的结果（图1）后，进行追问：图1中的两个三角形有怎样的关系？为什么？然后便是对全等缘由的详细分析.学生首先应利用（2）中归纳的结论证明△AOB≌△A′OB′，△BOC≌△B′OC′，△AOC≌△A′OC′，再从这三对全等三角形中提取出能证明△ABC≌△A′B′C′的条件，从而得出结论：旋转前、后的图形全等.

改编说明：与教材相比，笔者设计的教学活动让学生在已有知识和经验之上获得新知，与学生的认知现状和发展规律是较为契合的.笔者对教学流程的改编，是从教材给出的钟面和风车这两幅图开始的.对这两幅图的抽象和追问，意在让学生体会“旋转是‘有规则’的图形变换”，并归纳出这种“规则”，从而形成旋转的定义.由于在小学时学生已经积累了一定的作图经验，所以在学生获得了“对应点到旋转中心的距离相等”和“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”的结论后，笔者安排学生按照“点→线段→三角形”的顺序作图并探索旋转的性质，这与学生积累的平移、翻折的学习经验是高度契合的.这样改编，让学生立足旧知学新知，由易到难展开深度探究，与原教材的流程编排及“探究”设计相比，这里对原教材中“拉着三角板转动作图探索”经历的“只发现结论，不证明结论”的做法进行了提升：证明△ABC≌△A′B′C′，不仅及时巩固了新学结论，还明晰了“旋转前、后的两个三角形全等”的真正缘由.其作用，并不止于旋转性质的获得，还应在“学生不仅知其然，且知其所以然”的意蕴外，向学生传递“述之有据，言之有理”的数学特有的价值理念.

2.调整练习问题，明确解答方向

关于上文中所述的教材练习设置问题，笔者认为可以调整原练习中的问题，将其由“找（说）出图中的旋转角”改为：请在图中画出一个能表示旋转角的角.两者相比，新的表述指向更为明确.以图2为例，学生在解答“找（说）出图中的旋转角”时，很多人认为“旋转角是∠AOA′与∠BOB′”，这样的表述很容易让学生误认为“一次旋转中有两个甚至无数个旋转角”，这显然与旋转角的定义是偏离的；对于新问题，用“∠AOA′、∠BOB′都可以表示旋转角”来作答是完全可行的.这样的解题要求调整，不仅有利于学生深入理解“转动的角叫旋转角”，还能让他们真正领会到“旋转过程中，旋转前、后对应点的变换规律即为整个图形的变换规律”的旋转“事实”，从而为接下来深入认知旋转的性质奠定了重要的基础.此外，关于旋转角的教学，笔者还有一个建议：在明确了“转动的角叫作旋转角”和对应点的定义后，结合图7明确“我们可以用对应点与旋转中心所连线段的夹角来表示旋转角，即∠POP′”.不知当否，还请编者斟酌.

3.改变问题情境，打造公平教材

打造公平教材，应是教材编者的普遍追求.因而，对于笔者在上面所说的问题的情境设置问题，我们同样应进行针对性调整.具体可以有两种调整方法：第一种是不考虑压水机的使用情况所带来的认知差异，增加有助于学生理解图形旋转的问题情境，也就是如图2和图3那样，用虚线画出压水机手压杆的起始位置，或者展示手压杆的原始位置和出水位置的两幅图片，这样可以将因不熟悉压水机工作原理所带来的学习偏差最大限度缩小；第二种是将图4换为学生所熟悉的场境图片，如一只脚转动的圆规、转动的水龙头等.至于新图的使用，笔者同样建议呈现出旋转的起始位置和终极位置，一般学生能感知图形旋转的过程，为准确确定旋转角和旋转中心扫清障碍.

三、写在最后

呈现完美的教材，既是教材编者的追求，也是一线教师的期待.然而，由于教材编写、出版、应用及修订需要一个较长的时间周期，这在很大程度上让我们所使用的教材很难做到与时代发展完全同步.那么，在教材无法“同步”的情况下，一线教师该如何做呢？笔者认为，除了如本文这样“大声疾呼”，更多的应是脚踏实地创造性使用教材，即将对教学不适的教材内容进行本土化重组，设计出与本班学生发展同步的探究情境与教学流程，为学生获取“四基”提供一切便利.当然，这种重组应建立在对原教材充分尊重的基础之上，毕竟我们对教材的理解是局部且有限的，教材中所存在的这些“瑕疵”是不足以撼动教材的工具性地位的.教材的教学化，应基于教材，活用教材.以上，仅为个人在教材使用过程中的体会与感悟，所提建议未必准确，不当之处，恳请同行专家、教材编者批评指正.F