拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用

陈海伟

摘  要：拉格朗日中值定理揭示了函数在某区间内的整体性质和在该区间内某一点的导数之间的关系，是微分中值定理的核心定理之一。通过典型例题的解析分析说明利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法步骤和辅助函数的构造方法。

关键词：拉格朗日中值定理  辅助函数 不等式证明

中图分类号：O172                                   文獻标识码：A                          文章编号：1672-3791（2019）03（c）-0117-02

1  预备知识

拉格朗日中值定理[1]：如果函数满足：（1）在闭区间[a，b]上连续;（2）在开区间（a，b）内可导，则在内至少存在一点，使得。

2  利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法步骤[2]

利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法步骤可以总结为以下三步：（1）构造辅助函数;（2）选择恰当的应用区间（a，b）;（3）考虑中值的取值范围。其关键点在于辅助函数的构造和应用区间的选择。在实际应用中往往是根据需要证明的不等式来逐步逆推出需要构造辅助函数并选择恰当的应用区间（a，b）。下面通过典型例题的解析讲解来分析说明辅助函数的构造方法。

3  典型例题解析t

例1 证明：当时，。

分析：从逆推。，要逆推凑成，、）（选择合适的取值范围）。

。结合的形式，可以猜想f（b）=且，即。辅助函数t为，应用区间为。显然在上满足拉格朗日中值定理的使用条件，即在区间内至少存在一点，使得。

（），，即得。从而辅助函数的构造和应用区间的选择是正确的。具体证明过程如下。

证明：设，则在上满足拉格朗日定理的条件。故在区间内至少存在一点，使得=，。因为，所以，，故。，所以当时，。

由此例题可以得到，如果不等式条件为，则应用区间可以考虑为。

例2 证明：当 时，。

分析：，可以猜想中值定理的应用区间为，

。

，=-e，

辅助函数为，，且，，即，从而辅助函数的构造和应用区间的选择是正确的。具体证明过程如下。

证明：设，则在上满足拉格朗日定理的使用条件，故在区间内至少存在一点，使得

。因为，所以，故。，，，所以当时，。

例3 证明：当时，。

分析：已知条件为，如果猜想应用区间是，则 ，由需要证明的不等式很难逆推分析出分母-0。而

===，所以

，结合

，、，辅助函数为，应用区间为。，（），由于，所以即。从而辅助函数的构造和应用区间的选择是正确的。具体证明过程如下。

证明：设，因为，所以在上满足拉格朗日定理的使用条件，故在内至少存在一点，使得，即，又因为，所以（），且，故

，所以，，

，所以当时，。

4  结语

在使用拉格朗日中值定理证明不等式的过程中，定理是不能够直接使用的，构造辅助函数和确定定理的应用区间是证明的关键。需要在学习的过程中多思考、多总结，才能够做到举一反三、触类旁通。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014：129-131.

[2] 吴赣昌.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2017：139-142.