结合结构模型与LMGP软件包强化原子散射因子的教学

郭 腾，郭 雨，丁志杰，陈君华，汪徐春，闫浩然

(安徽科技学院 化学与材料工程学院，安徽 凤阳 233100)

材料分析与测试技术课程是目前国内各个级别的本科院校为材料工程类本科生开设的一门比较重要的专业课，其讲授的衍射学、电子显微学、热分析学以及光谱分析学等分析手段和方法具备重要的应用价值，对于这些专业的学生而言，其不仅可以为他们面向今后从事材料应用开发行业中的材料分析工作奠定基础，也在他们在自身专业深造方面构成了所必不可少的重要的理论基础以及相应的实践性材料分析技能之一。在本课程上述的常规的四个部分的教学内容中，X射线衍射分析学部分通常都是排在最先讲授，因为其构成内容庞杂，讲授难度大，并且其也构成了后续电镜部分内容的重要的基础之一。因此，在日常的教研活动中有必要强化这一部分的教学研究与思考，为取得良好的教学效果奠定先决条件[1-3]。

在X射线衍射学的各个组成章节中，原子散射因子是构成X射线强度理论所必须的基本知识点之一。要实现对其良好的理解需要前面必备的理论基础(布拉格方程、劳厄方程，尤其是后者)，并且其自身也是构成结构因子的重要组成部分之一，因为晶体的结构因子的推导需要原子散射因子理论做支撑，因而结构因子在X射线衍射分析学的教学中起到了承上启下的作用，教师对这个知识点讲授的内容的深度和广度以及思路设计也将直接影响到学生对于后续知识系统的理解效果。但是，很多近几年的教材上对于该内容的描述比较简略，再加上该内容有一定理解难度，并且受限于有限的学时数等因素影响，在教学过程中往往存在学生反映有关原子散射因子的内容太难并且学习时间短，不能充分理解这些内容的问题。鉴于上述状况，我院材料工程教研室在近期的教学研讨活动中专门讨论了该内容，并参考了很多国内的著名教材，设计并优化了针对原子散射因子的结构模型用于教学，同时结合以专用晶体学分析程序LMGP软件包以用于演示，从而在控制教学篇幅和时长的同时取得了良好的教学效果。

1 针对原子散射因子的教学设计

原子散射因子是衡量的在某个入射X射线波长与衍射方向上，原子散射X射线能力的大小，因而，对其准确的理解应建立在简明的结构模型的基础上。通过广泛参考国内各个著名高校编写的材料分析技术类专业教材[4]，我们在选择了合适的模型的基础上，还对其进行了再设计与优化，添加了必要的内容，从而使其共同构成原子散射因子的典型教学实例。

1.1 有关衍射矢量

图1 以单位矢量形式(a)和波矢量形式(b)表示的发生衍射时的矢量差关系
Fig.1 The graphical relations of various vectors when diffraction have been present in which:(a) in the form of unit vectors,(b) in the form of wave vectors

1.2 结合结构模型全面讲授原子散射因子

如果将上面的矢量差值形式移植到原子中时，即可设计相应的原子散射因子的结构模型图解。如图2所示，以上两种用以描述衍射的矢量都可以用于原子散射因子的推导，但是用单位矢量的形式相对简单一些，故而采用头一种。原子散射因子所要涉及的是具有多个电子的原子对X射线的散射波的相互干涉情况，因而，讨论该因子的主要出发点就是讨论原子中各个电子的散射波的叠加特性。每个电子都能够散射X射线，因而当把对应每个电子的散射波采用相量表示法表示时都有其模值和位相值，其模值为单个电子的散射波的振幅Ee，其可视为常数实数，因而在这里主要需要计算的则是其位相值。其位相值计算需要借助如图2所示的模型，其中O点为原子中心，j点为另一任意电子；为了求得该电子散射波的位相值，其所采用的是一种间接的方法，即需要先求出位相差值。图中分别规定了通过原子中心和通过该讨论电子的入射线和衍射线，并假设在衍射线所示的方向上出现了干涉加强。尽管实际上由于原子核和核外电子的质量和运动速度都相差非常大，进而导致这两种散射主体对于X射线的散射特性无可比性，但是我们可以规定通过原子中心(原子核)的入射线和衍射线为参考零位相线，其在参与计算时并不应用其实际散射波的波长特性计算与电子的相干散射，而仅仅是采用了其零位相参考的功能，在规定了这一点的散射波的位相为零并且假定其散射波波长与电子散射波波长相等之后，此时即可讨论两个散射中心各自散射波的位相差，从而此时位相差值即可自动变为所讨论的电子的散射波的位相值。上述的物理学情景和假设条件需要重点和学生强调。

接下来，需要通过波长的关系将两折线段长度差转换为所对应的两波的角度差，即为相位差，其形式即为

将式(4)代入式(5)，即有

图2 原子散射因子图解Fig.2 Schematic representation of atomic scattering factor

课堂上需要重点讲述上述推导的目的，在于使学生理解上述相位差(也代表了电子j所产生的散射波的相位)不仅与表示电子的位置矢量长度有关，也与散射角(其中角度α取决于电子位置和角度θ)以及所采用的辐射的波长有关，因此可以认为电子j散射波的相位角是sinθ/λ的函数。因此，依据波的相量表示法，其可以表示为

设该原子的原子序数为Z，则其中包含有Z个电子，依据矢量求和的法则，整个原子在图示方向的散射波矢量即为Z个电子的散射波的矢量求和，即为下式

最后可以和学生说明的，是在实际的计算中，电子位置矢量可以用电子云密度的方法间接得到反映，通过套用电子云密度的方法即可计算任意一种原子的原子散射因子值。

上述方法重点和学生讲授的目的，是为了强调简化方法的运用，即通过规定零位相点或线的形式使得所讨论的位相值转变为求位相差值，进而能够直接套用劳厄方程的推导方式，并且这种方法还需要用到后续的结构因子的推导过程中。

1.3 结合LMGP软件包中专用程序 (ScatFac) 强化原子散射因子教学

图3 通过LMGP软件包中的ScatFac程序演示O原子在Cu Kα1型辐射条件下的原子散射因子函数
Fig.3 The atomic scattering factor function curves of oxygen atom under Cu Kα1 radiation represented by ScatFac program in LMGP software suite

在上述推导过程中需要重点和学生强调原子中单个电子的散射波的相位角是sinθ/λ的函数，而每个求和式中都含有该项，因此最后的矢量和也是sinθ/λ的函数，并且在实际的原子散射因子的计算和使用中每一种原子的原子散射因子大小都是用sinθ/λ的函数形式表示的。为了充分说明这种趋势，此时我们可以用专用的晶体学程序向学生充分展示。我们在以往的教学活动中，主要采用的是LMGP软件包[6]。LMGP是法文Laboratoire des Materiaux et du Génie Physique de l'Ecole Supérieure de Physique de Grenoble前面几个单词的缩写，它是Jean Laugier和Bernard Bochu等人编写的由一系列与结晶学、劳厄衍射与粉末衍射有关的独立程序所组成的免费的软件包，在这个软件包中主要与原子散射因子有关的程序是ScatFac。下载该程序后打开scatfac.exe程序，即可进入其主界面，其主界面也很简洁，通过单击高亮选择相应的辐射源，之后再选择相应的原子类型之后，点击“Draw”菜单，即可弹出相应的元素的原子散射因子随着sinθ/λ的变化图形的窗口，如图3所示，该绘图窗口中包含的信息包括当前所选辐射源的类型、能量值等参数，同时通过鼠标在窗口中移动可实时查看当前位置的θ角度值和对应的散射因子值并显示在窗口的右上角；另外，该窗口的绘图区很清楚地显示了散射因子值(纵轴)随着sinθ/λ(横轴)的变化关系，因此可以作为演示上述函数关系的辅助教学软件，用于给学生演示实际原子的原子散射因子函数的表现形式，在实际教学中，我们通过这款小程序向学生演示原子散射因子值的查询过程和函数变化关系，收到了良好的效果。

2 教学改革实施效果

原子散射因子是X射线衍射分析学中重要的教学内容之一，其与衍射学中很多重要的知识点(劳厄方程、布拉格方程、结构因子等)有着非常紧密的联系，因此对于这个知识点的教法和学法的研究有助于整体提升学生学习衍射分析学的效果。通过相关的教学活动我们取得了下面的成果。

2.1 优化的结构模型能够促进原子散射因子教学

原子散射因子本质上是波矢量的范畴，因此我们将教学的重点放在针对原子中电子散射波的讨论。针对这种散射结构模型的全面、详细的解析，使得学生们对相应的物理过程有了全面正确的理解，进一步激发了学生的兴趣，学生的提问率明显提高。

2.2 提高了学生的计算机应用技能

ScatFac程序不仅可以用来演示原子散射因子函数的图形，还可以用于查询相应的散射因子并用于相应的计算与研究。通过软件的演示与查询，进一步使学生明确了原子散射因子在实际应用时的表现形式，丰富了教学案例，提高了学生的专用程序软件应用水平。

3 结论与建议

针对材料分析与测试技术课程中重要知识点构建全面系统的教学案例(含结构模型、设备原理、应用实例与相应的计算机应用案例)是我二级学院课程教研组近期的一个主要教研改革任务之一，合理且良好的案例设计有助于提高学生的学习兴趣，增强他们对于专业性和综合性较强的内容的理解，这对于地方性应用型本科院校生源质量不高、理解力差等问题的改善能够提供较好的借鉴意义。