股票价格几何布朗运动模型的理论错误及纠正

高宏

摘要：几何布朗运动模型是现代金融学用来描述股票价格随时间演变过程的随机模型，但是众多学者的实证研究结果表明，几何布朗运动模型与事实严重不符。本文指出了几何布朗运动模型将股票价格假设为随机变量的理论错误，并根据股票价格与时间一一对应的实际现象，将股票价格抽象为确定性的时间函数，重建了可正确描述股票价格现象的几何布朗运动函数模型，可为证券投资活动的量化分析、价格预测及风险管理提供准确的数学描述工具。

关键词：几何布朗运动模型 随机模型 函数模型

一、引言

几何布朗运动模型是现代金融学用来描述股票价格随时间演变过程的随机模型（Merton，2013;王军等，2018）。但是，几何布朗运动模型描述的股票价格收益率数学期望为常数，表明股票市场中存在着确定性的盈利机会，这不仅与股票市场“股票价格随机变化”的实际观察结果和现代金融学中的有效市场假说不符，也与Kendall（1953）、Osborne（1959）、Samuelson（1965）和 Fama（1965）等众多學者的股票价格收益率序列均值为零的实证研究结果不符。本文指出了几何布朗运动模型不能正确描述股票价格波动现象及规律的变量假设错误，并根据股票价格与时间一一对应的实际现象，将股票价格与时间之间的数量关系抽象为函数关系，使用无漂移的几何布朗运动过程样本函数模型来描述股票价格波动现象，不仅可正确描述股票价格随时间演变的过程，而且也揭示出了股票价格波动本身包含有线性趋势的运动规律。

二、错误现象

设S（t）为股票价格，若S（t）满足下面的随机微分方程，则称它遵循几何布朗运动（Hull，2013;林清泉，2008;赵胜民，2010）：

（1）

式中μ为股票价格收益率的数学期望，σ为股票价格的波动率，W（t）为服从N（0，1）的维纳过程，也称标准布朗运动。

根据式（1），可得股票价格S（t）收益率的数学期望：

（2）

式（2）表明，股票价格的短期收益率为常数，股票市场中存在着确定性的盈利机会，这不仅与现代金融学“股票价格随机变化”的长期观察结果和有效市场假说不符，也与Kendall（1953）、Osborne（1959）、Samuelson（1965）和 Fama（1965）的股票价格收益率序列均值为零、在统计上不具有相关性的实证研究结果不符。

三、错误原因

根据随机过程定义（王丽霞，2012），随机过程{ X（ω，t），t∈T}是定义在Ω×T上的二元函数，其中Ω={ω}为样本空间，T是给定的参数集，参数t通常表示时间。

对于固定的ω∈Ω，X（ω，t）是一个定义在T上的确定性时间函数，此函数通常被称为随机过程{ X（ω，t），t∈T}的样本函数或样本轨道。实际应用中，一个样本函数对应着随机试验中的一次“测量结果”。我们观测到的股票价格随时间变化的过程，实质上就是随机过程中的一个样本函数。

对于固定的t∈T，X（ω，t）是随机变量， X（ω，t）的所有可能取值所构成的集合称为状态空间或样本空间，可用随机变量的概率分布来描述其统计特性。

在随机过程理论中，通常将随机过程X（ω，t）简记为X（t）。为了便于区别随机变量和样本函数，通常用大写X（t）表示随机变量，用小写x（t）表示样本函数。因此，随机过程X（t）是一族样本函数x（t）的集合。

随机变量X（t）实质上也是一个函数，它是定义在样本空间Ω上的单值函数，但其自变量是样本点ω，而非时间t。在固定的时间点，随机变量在样本空间Ω有多个样本函数值。

研究随机过程主要有两种方法：概率法和分析法。在样本空间Ω上研究随机过程的随机变量通常使用随机模型和概率方法，在参数集T上研究随机过程的样本函数通常使用函数模型和分析方法。

因此，建立股票价格随时间演变的数学模型时，股票价格与时间之间的数量关系只能被抽象为随机过程中的一个样本函数，而非随机过程的随机变量。如果将股票价格s（t）假设为随机变量S（t），则几何布朗运动模型就成为随机模型，描述的是样本函数集合S（t）的统计特性，而不是单个样本函数s（t）的轨道特性，研究对象从单个样本函数s（t）变为样本函数集合S（t），必然会得出与事实不符的结论。

四、错误纠正

五、结论

本文指出了几何布朗运动随机模型用于描述股票价格运动时出现的错误，以及不能正确描述股票价格波动现象及规律的变量假设错误。本文使用全新的时间函数和函数模型范式重建了股票价格研究领域的基本概念和研究方法，首先根据股票价格与时间一一对应的实际现象，将股票价格与时间之间的数量关系抽象为随机过程样本函数，然后采用确定性的函数模型而不是随机模型来描述股票价格随时间演变过程。本文建立了微分和积分两种形式的几何布朗运动函数模型，推导出了股票价格幅频特性，不仅能正确描述股票价格波动现象，而且也揭示出了股票价格波动的频域特性，以及股票价格本身包含有线性趋势的运动规律。

参考文献：

[1]Robert C.Merton.连续时间金融[M].郭多祚译.北京：中国人民大学出版社，2013.

[2]王军.邵吉光.王娟，随机过程及其在金融领域中的应用（第2版）[M].北京：清华大学出版社和北京交通大学出版社，2018.

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[4]Osborne M. F. M. Brownian motion in the stock market[J].Operations Research，1959，7（2）：145–173.

[5]Samuelson P.A.Proof That Properly Anticipated Prices Fluctuate Randomly[J].Industrial Management Review，1965，6（2）：41-49.

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[7]John C.Hull.期权、期货及其他衍生品[M].王勇译.北京：机械工业出版社，2013.

[8]林清泉.数理金融学[M].北京：中国人民大学出版社，2008.

[9]赵胜民.金融工程[M].厦门：厦门大学出版社，2010.

[10]Campbell John Y.，Andrew W. Lo and A. Craig MacKinlay，The Econometrics of Financial Markets，Princeton University Press，1997.

[11]王丽霞.概率论与随机过程：理论、历史及应用[M].北京：清华大学出版社，2012.

[12]常建平.随机信号分析[M].北京：科学出版社，2013.

（作者单位：清华大学）