从能力到思维

张庆宣

[摘要]小学数学的教学离不开计算思维的培养，计算思维就是基于可计算的手段，以定量化的方式进行的思维过程。培养小学生的计算思维是信息化时代对数学教育的合理诉求，是发展学生未来核心素养的必然选择。数学运算是当前中小学数学学科核心素养内容之一，有利于促进学生数学学习效率的提高。文章结合教学实例，在新知学习中要在演绎推理中让学生理解算理，在合情推理中掌握算法;在新知应用推广中以一题多解发展计算思维，在灵活解决问题中发展思维。

[关键词]小学数学;运算能力;运算思维;数学运算

作为数学学科素养内容之一的数学运算，如何在数学教学中有效渗透这种核心理念内容成为当下核心素养时代的教师需要关注的热点之一。数学是中小学的重要工具学科，许多学生由于没有正确掌握数学学习方法，导致茫茫然不知所措。运算能力主要是指能够根据计算法则和运算定律正确地进行运算的能力。数学教育中的计算思维，是指从计算角度思考问题，把问题数量化，化归或递归为可计算的问题，用数据来进行推理。在学习数学的时候，教师需要引导学生学会如何掌握数学运算，掌握数学计算方法，发展数学能力，以及养成良好的数学学习习惯，从掌握数学学习方法进而形成综合学习的能力。培养小学生的运算能力不但能帮助他们理解计算的算理，而且能促进他们寻求合理简洁的运算途径，从而解决问题。因此，在计算教学中既要注重计算能力的培养，更要关注学生思维能力的发展。

一、学习新知中培养运算能力

美国教育家杜威说过：“教学决不仅仅是一种简单的告诉，教学应该是一种过程的经历，一种体验，一种感悟，而经验是体验的基础。”在当前核心素养教育时代下，小学数学教师应该从教育發展的特点出发，根据学生的心理不断发展的特征，在教学中融入更多的动态因素，让孩子既学习已有的数学知识，又发展新的数学知识。

1.演绎推理中弄清算理

数学学习过程中，学生不但要知其然而且要知其所以然。在计算教学中，学生只有弄懂算理，对算法才有深刻印象，否则，只能依葫芦画瓢地计算。算理是计算的依据，是算法的基础，能解决“为什么这样算”的问题。算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和可行性。

2.合情推理中掌握算法

算法就是运算的方法，是由算理抽象、概括而来的运算方法，包括运算顺序、运算法则和运算律。算法为学生正确、简洁、灵活地进行运算提供了适当的操作方法，有助于学生提高运算速度。教学时，算理和算法是一枚硬币的两个面，两者相辅相成。小学数学教学中的算法一般通过合情推理获得的。

（1）归纳推理中概括法则

       

（2）类比推理中推广运算律

运算定律是小学生数学计算时常用的知识，应用运算定律能使学生的计算比较快捷、简单。整数加法和乘法中的运算律学生是通过不完全归纳得到的，但这些运算律在小数、分数中的应用是学生通过类比推理获得的。类比推理是从特殊推向特殊的推理。教学“整数乘法运算定律推广到小数”时，学生观察三组算式“0.7×1.2○1.2×0.7”“（0.8×0.5）×0.4○0.8×（0.5×0.4）”和“（2.4+3.6）×0.5○2.4×0.5+3.6×0.5”，发现每组算式的结果都是相等的，从而发现整数乘法的交换律、结合律和分配律对于小数乘法也适用，从而为小数乘法简便计算奠定了基础。

张景中院士认为：“数学中的画图和推理归根结底都是计算。推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算直观的模型。”培养学生的运算能力，无论是否借助图形帮助学生数形结合理解算理、掌握算法，都离不开推理，都要有意无意中应用推理，反过来，如果学生的推理能力比较强，对学生理解算理、掌握算法也是有促进作用的。

二、应用新知中发展计算思维

数、量、形和关系是数学的四大内容，教师要培养学生的数学思维，需要考虑到学生在数、量、形和关系方面的发展特点。数学是按一定的逻辑而存在的，其具有一定的机械性。学习数学的过程不应该是机械的，尽管也是按照数学的规律进行的，但是学习应该是动态的，是不断变化和发展的。毕达哥拉斯认为“万物皆数”。既然有了数，就会有计算。从计算出发思考问题就是一条很好的思路。随着信息技术的不断发展，计算思维终将会成为时代思维的主要方式和手段。因此，教师要在教学中有意识地培养学生的计算思维。

1.一题多解中发展计算思维

一题多解就是教师或学生对同一个问题用不同思路和不同方法进行分析与解答，实现异曲同工的解题效果。一题多解不但能促进学生灵活思考，而且能培养学生综合应用所学数学知识和其他学科知识解决实际问题的能力，对学生构建知识网络、开阔视野、发展思维、提升数学素养也很有好处。运算，尤其是简便运算中有很多题目是可以一题多解。教师要根据教学需要和学情恰当引导学生一题多解，并进行方法最优化。

学习整数乘法运算定律在小数乘法中的应用后，学生需要计算4.8×1.25。有的学生列竖式计算;有的学生根据乘法分配律这样计算：（1）4.8×1.25=（4+0.8）×1.25=4×1.25+0.8×1.25=5+1=6;（2）4.8×1.25=（1+0.25）×4.8=1×4.8+4.8×0.25=4.8+1.2=6;（3）4.8×1.25=（5-0.2）×1.25=5×1.25-0.2×1.25=6;有的学生根据乘法结合律这样计算：（1）4.8×1.25=4×1.2×1.25=（4×1.25）×1.2=5×1.2=6;（2）4.8×1.25=6×0.8×1.25=6×（0.8×1.25）=6×1=6;（3）4.8×1.25=0.6×8×1.25=0.6×（8×1.25）=0.6×10=6。不同的学生从不同思路进行计算，最后的结果都是6。本题的核心是解题策略的多样化，因此，在教学中需引导学生对这些方法进行比较，比较不同方法间的异同点，体会简便计算的关键是根据数据的特征找到合理的方法，培养数学思维的灵活性。

教学中，我们在关注方法多样化的同时，需要进一步关注不同方法背后的算理支撑，理解算法背后的运算定律，从而更好地理解运算定律的内涵。如果把4.8拆成0.8×6或8×0.6，再用0.8或8与1.25相乘，再乘6或0.6，是依据乘法结合律。如果是把4.8拆成4+0.8或5-0.2，再与1.25相乘，是依据乘法分配律。让学生通过比较进一步明确，同一道题目，同样是应用运算定律，但不同的应用方法计算过程也是不一样的。通过对比让学生发现在应用运算定律进行简便计算时，首先要注意运算定律的合理运用，其次要注意计算方法的合理选择。

一题多解并进行方法多样化，有助于学生养成简便计算的习惯，形成能简便计算就简便计算并争取方法最优化的计算思维。这样允许学生在简便计算时有不同的理解，不同的方法，体现不同的计算思维，为学生构建属于自己的数学素养提供了选择，一题多解的训练有助于发展学生的数学思维，提升学生的解题能力。

2.灵活解决中发展计算思维

解决实际问题离不开计算。教师要根据教学内容引导学生灵活解决实际问题，并在解决实际问题过程中发展学生的计算思维。例如，把一个礼品盒（如图4）用红带子扎起来，这根彩带长多少厘米？（打结的红带长15厘米）学生一般用（20+8+10）×4-20×2-8×2+15=111（厘米）或（20+8+10）×4-（20+8）×2+15=111（厘米），也有的学生通过观察发现“彩带长=2条长+2条宽+4条高+结头”，列式为20×2+8×2+10×4+15=111（厘米），也有学生是这样列式的：（20+10）×2+（8+10）×2+15=111（厘米）。学生把彩带分成2个长方形计算周长后再加上打结的彩带长度。不同角度思考问题体现了学生不同的计算思维。

对一般问题而言，学生的计算思维和运算能力之间的差距也许并不明显，对非常规思维解答的问题而言，就能明显体现出学生的计算思维的层次了。例如，学习了圆的面积后，有这样一道习题：正方形的面积是8平方分米，你能求出图（如图5）中阴影部分的面积吗？从表面上看，小学生解决不了这个问题，因为求扇形面积要用到圆的半径，也就是正方形的边长，而题目里只有正方形的面积是8平方分米，似乎要用到初中开平方的知识。其实，小学知识也能解决这个问题。如果把左图转化为右图，圆半径的平方就是正方形的面积。因此，如果设正方形的边长为r厘米，也就是圆的半径为r厘米，阴影部分的面积就是“半圆的面积-三角形的面积”，可以列式为π×r2÷2-2r×r÷2=π×r2÷2-r2=0.57×r2=0.57×8=4.56平方厘米。也有的学生这样思考，阴影部分的面积就是“正方形的面積-2个空白部分的面积”，而1个空白部分的面积=正方形的面积-1/4圆的面积。列成综合算式为：8-2×（8-3.14×8÷4）=4.56平方厘米，如果学生能想到这样的方法进行解答，就说明学生能把计算转化为推理了。这样引导学生认识计算和推理的关系以及由计算发展到推理，从计算角度思考问题，把问题数量化，转化成可计算的问题，用数据来进行推理，对培养学生的计算思维和推理能力都是非常重要的。

3.游戏活动中发展计算思维

运算能力的培养与发展是一个长期的过程，运算能力的培养不仅包括运算技能的逐步提高，还应包括运算思维的提升。要使学生运算得既对又快，在计算教学时可以采用以游戏的形式展开数学活动，既符合学生的心理特点，又能激发学生的学习兴趣，教学时要充分利用好游戏活动的数学价值。

在日常教学中，大部分教师都在抱怨计算课枯燥无味，学生不爱听，不愿算。运算能力作为学生一种重要数学素养，如何进行适时、适度、适量的训练？首先要把好口算关，口算训练重在练习，贵在坚持。在计算教学时，坚持每天课前5分钟的口算训练，采用的形式可以是开火车、对口令、找朋友等游戏式的练习形式，这样寓算于乐，口算时要求学生做到耳听、眼看、口说、心记，这样多感官参与计算活动，既训练口算的反应速度，又及时巩固计算的方法。在口算训练中，我时常还穿插一些能够简便计算的题目，使学生熟练地运用运算定律、法则、公式、性质等进行口算。如看到455-36-64，学生就能直接说出455-100，看到33×66+67×66，就能直接想到66×100，看到420÷3÷14，就能直接想到420÷42。通过训练，学生在思考过程中头脑会浮现关键的步骤，主动的省略非必要的过程，使计算自动化，做到脱口而出，达到培养学生计算思维之目的。运算能力的形成不是一蹴而就的，应该循序渐进、螺旋上升，应该贯穿教学活动的全过程。在计算教学时，除了坚持课前的口算训练，课后我还经常布置一些游戏类的题目让学生训练。

总之，对小学生而言，培养学生的运算能力非常重要，发展学生的数学思维更是为了学生的未来着想。一般情况下，二者的区别不太明显，但在解决没有固定思考模式的问题过程中，两者的区别比较明显。计算思维是信息时代人人要掌握、处处要应用的一种基本思维方式，不但能帮助人们解决生活中的实际问题，而且能帮助人们管理日常生活，方便人与人之间交流与互动。从小学开始，从小学生的运算能力入手培养学生的计算思维，培养学生从计算角度思考问题和分析数量关系非常重要，是教师培养学生核心素养，为他们未来发展谋的大“福利”。

参考文献：

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[2]张丽.关注过程体悟  着眼能力提升——以“异分母分数加减法”为例谈小学数学运算教学[J].数学学习与研究，2017，（08）.

[3]李小英.小学数学核心素养体系下的运算能力提升途径[J].课程教育研究，2017（37）：136-137.

[4]杨娟.核心素养下小学数学运算技能的培养[J].基础教育论坛，2018，（28）.

[5]李全明.浅谈小学数学教学中的学生运算思维培养创新[J].中国校外教育，2018，（08）.

（责任编辑 陈始雨）