“探究碰撞中的不变量”的深度教学*

何春生 刘永红

(北京市第八十中学 北京 100102)

碰撞是自然界中常见的现象.两个物体碰撞过程中速度都会发生变化，物体的质量不同时，速度变化的情况也不一样.那么碰撞前后会有什么物理量保持不变呢？

1 问题的提出

教科版普通高中课程标准实验教科书《物理·选修3-5》中，如图1所示，用实验探究出了一维碰撞碰撞前后，由参与碰撞的两个物体组成的系统的∑mv保持不变，而两个物体的速度之和与动能之和都有可能发生变化.并由此将物体质量和速度的乘积定义为动量.这样编写教材，能让学生充分体验到寻找守恒量是研究物理学的重要思想方法，也能让学生充分体验到定义动量这个物理量的必要性.但要完成这个实验，最好有气垫导轨、光电门传感器等比较先进的教学设施.而且，这个实验探究的结果也只能说明，碰撞前后系统的动量矢量和相等.并不能精确地说明在碰撞过程中的任意时刻，系统的总动量都相同.所以,要想让学生接受并深刻理解碰撞过程中系统的动量守恒，还应该建构中学生能够接受的理想化模型进行理论探究.

图1 教科书中一维碰撞的探究

2 教学实践

教学中笔者结合学生认知状态，引导学生提取实验的关键因素，忽略次要因素，建构符合中学生认知水平的理想化模型，并利用模型进行过程分析和理论探究.学生不仅能通过实验发现碰撞中的守恒量，还能够利用建构的理想化物理模型对碰撞进行描述、解释和预测.

2.1 学情分析

学生已经学习了牛顿定律和匀变速直线运动等知识，会定量分析处理物体在恒力作用下的运动，会从力和运动关系和能量角度分析问题.对于变力作用下物体的运动问题，高中学生会定性讨论，但不会定量处理.高中学生思维正从直观形象型向逻辑抽象型过渡，但思维还常常与感性经验直接联系，思维过程中仍需具体形象的材料支持.

2.2 模型建构

鉴于学生的认知现状，我们将两个带弹性钢片的滑块抽象成这样的模型：两个不受任何外力，能够发生形变，能在一维空间运动的弹性小球；当两个小球不接触时，两个小球间的相互作用力为零；当两个小球接触时，两个小球间有相互作用力，相互作用力大小是随时间变化的，但其作用效果可等效为一个大小不变的力在同一时间内的作用,如图2所示.

2.3 模型小球的运动过程分析

两小球碰撞前不接触，小球间没有相互作用力，两小球向右做匀速直线运动.设球1的速度大于球2的速度，则球1会追上球2并与球2发生正碰.碰撞过程中球1与球2之间产生相互作用力，球1的受力方向与运动方向相反，所以球1向前做匀减速运动；球2的受力方向与运动方向相同，所以球2向前做匀加速运动.碰撞刚发生时球1速度大于球2的速度，两球发生挤压形变，两质心间距离逐渐减小.碰撞的后半段球2继续加速，球1继续减速，球2的速度将会大于球1的速度，两小球的挤压形变逐渐恢复，两球质心间距离逐渐增加.形变完全恢复后，两小球脱离接触，各自向前做匀速直线运动.由上述分析不难看出，两小球速度相等时，速度大小关系发生逆转，两球质心间距离变大变小也随之发生转折.不难看出当两球速度相等时，两球质心间距离最小.

2.4 利用建构的模型进行理论探究

分别用牛顿定律、运动学的相关规律和动能定理来讨论一下，从状态Ⅰ到状态Ⅱ，由不受外力作用的两个小球组成的系统，总动量和总动能的变化情况.

设两小球从状态Ⅰ开始接触，状态Ⅱ对应碰撞中的某一时刻(两小球发生形变)，设从状态Ⅰ到状态Ⅱ的时间为t，球1和球2在状态Ⅰ，Ⅱ的速度分别为v11，v21和v12，v22，球1和球2从状态Ⅰ到状态Ⅱ通过的位移分别为s1和s2,如图3所示，球1和球2在碰撞过程中的加速度分别为a1和a2.

2.4.1 用牛顿定律和运动学的相关知识(按教材编排顺序，学生此时还没有学习冲量)讨论系统的动量变化

对球1从状态Ⅰ到状态Ⅱ，有

a1t=v12-v11

两边同时乘以m1，有

m1a1t=m1v12-m1v11

即

F1t=m1v12-m1v11

(1)

同理，对球2从状态Ⅰ到状态Ⅱ，有

F2t=m2v22-m2v21

(2)

由牛顿第三定律知

F1=-F2

(3)

联立式(1)～(3)得

m1v11+m2v21=m1v12+m2v22

又因为上述推导，状态Ⅱ可以是碰撞中的任意时刻，所以，在整个碰撞过程中系统的∑mv始终是保持不变的.

2.4.2 用动能定理讨论系统的动能变化

对球1用动能定理

(4)

对球2用动能定理

(5)

又因为球1减小的动能为

(6)

由式(4)、(6)得：球1的动能减小

Ek1减=F1s1

(7)

球2动能的增加为

(8)

由式(5)和式(8)得：球2的动能增加

Ek2增=F2s2

(9)

根据牛顿第三定律，F1,F2大小相等，所以

(1)若s1=s2时，由式(7)、(9)得： ΔEk1减=ΔEk2增，即球1减小的动能等于球2增加的动能.由式(6)、(8)可知：两小球状态Ⅰ时的动能之和等于状态Ⅱ时的动能之和，即

(10)

(2)若s1>s2时，由式(7)、(9)得：ΔEk1减>ΔEk2增，即球1减小的动能大于球2增加的动能.由式(6)、(8)可知：两小球状态Ⅰ时的动能之和大于状态Ⅱ时的动能之和，即

(11)

(3)若s1

(12)

在碰撞过程中，前半段球1和球2的挤压形变逐渐增加，球1的位移大于球2的位移，球1减小的动能大于球2增加的动能，两球的动能之和不断减小；当形变达到最大时，球1的位移比球2的位移大得最多，球1减小的动能比球2增加的动能多得最多，两小球的动能之和最小.碰撞的后半段，球1和球2的形变逐渐恢复，球1在这一阶段的位移小于球2在这一阶段的位移，球1减小的动能小于球2增加的动能，两小球的动能之和不断增加.当形变完全恢复时，两小球在碰撞过程中通过的总位移相等，球1减小的总动能等于球2增加的总动能，系统碰撞前的动能等于系统碰撞后的动能.

因为作用力和反作用力时时刻刻大小相等，方向相反，同时产生同时消失，所以，碰撞过程中两小球所受的相互作用力和时间的乘积Ft(冲量)始终大小相等，方向相反.因此，在碰撞过程中，不受外力作用的系统动量必定守恒.

又因为作用力和反作用力作用在两个物体上，碰撞过程中两个物体在同一时段通过的位移不同，作用力与反作用力对两个物体做的功也不同，导致两物体的动能变化也不相等，所以碰撞过程中两物体的动能之和不断发生变化.

因此，不受外力作用的系统在碰撞过程中，动量守恒，但动能不断发生变化.

2.5 利用建构的模型讨论碰撞

(1)如果在碰撞过程中，从状态Ⅰ到状态Ⅲ两小球的形变完全恢复.则在碰撞过程中球1的位移等于球2的位移，则球1减小的动能等于球2增加的动能，即系统碰撞前的动能之和等于碰撞后的动能之和.在这个过程中，系统的动量守恒，碰撞前后系统的动能没有损失.我们称这种碰撞为弹性碰撞.

(2)如果碰撞过程中，两小球形变量最大，速度相等时，由于某种原因形变不恢复，此后两小球以相同的速度共同前进.此时，球1的位移比球2的位移大得最多，则球1减小的动能比球2增加的动能大得最多，即系统碰撞前动能比碰撞后动能大得最多.在这个过程中，系统的动量守恒，动能损失最多.我们称这种碰撞为完全非弹性碰撞.

(3)如果碰撞过程中，两小球到中间任意状态时(除速度相等外)，两小球的形变不再恢复.则在这个过程中球1的位移大于球2的位移，则球1减小的动能大于球2增加的动能，即系统碰撞前的动能大于碰撞后的动能.在这个过程中，系统的动量守恒，动能有损失.我们称这种碰撞为非弹性碰撞.

(4)虽然我们建构的模型是假设球1和球2间的相互作用力大小保持不变，但由于作用力和反作用力时时刻刻都保持大小相等方向相反，所以它们对时间的累积效果相同.因此，在相互作用力大小随时间发生变化情况下，系统的动量还是守恒的.

3 教学反思

(1)通过实验研究问题，是物理学对科学研究贡献的重要方法之一.它极大地推动了科学技术的进步和发展.但从实验中总结和发现物理规律，进行科学地分析和解释，从而寻找更基本、更普遍的物理规律，也是物理学追寻的目标和重要的研究内容.中学物理教学中让学生有一些这样的体验和感知，对促进和提高学生的核心素养是非常有帮助的.

(2)模型建构是科学思维的重要组成部分，建构和应用物理模型是研究和解决物理问题的基本方法.培养学生建构和应用模型的能力，也是学生学习物理课程的重要目标之一.教学中应该让学生多一些体验和感受.