库仑阻尼在不同刚度抗冲隔离器中的作用分析

温肇东，刘洪权*，闫明，张春辉，张磊

1海军研究院，北京100161

2沈阳工业大学机械工程学院，辽宁沈阳110023

0 引 言

舰船在作战中，水面非接触爆炸冲击载荷会给舰载设备带来威胁。为保护设备安全运行，主要采取3种方法来抑制冲击振动，即控制冲击源头、改变冲击传输路径及减小冲击响应。在实际应用中，最有效的方法是通过抗冲隔振器来减小冲击响应［1］。在抗冲隔振系统中，刚度和阻尼是2个主要参数。其中，刚度利用自身势能存储系统动能以减小被隔离体（设备）的加速度响应，阻尼则是利用能耗性质减小被隔离体的残余响应并同时增强隔振性的特点，达到减小系统固有频率在一定带宽范围内的冲击振动响应的目的［2］。

在刚度设计方面，Alabuzhev等［3］基于线性弹簧引入负刚度装置，对其结构及动态响应进行研究，提出了准零刚度的概念；彭献等［4］详细介绍了准零刚度隔振器的定义、分类及其设计方法。除研究准零刚度外，有学者还对主动、半主动刚度开展了研究。例如，Ledezma-Ramirez等［5］介绍了一种开关弹簧装置，该装置利用磁力施加恢复力，通过磁力切换刚度的大小。试验表明，该装置能减少冲击响应，弱化残余振动。

虽然阻尼的机理十分复杂，但是库仑阻尼作为一种特殊阻尼，其工作原理较为简单［6］。唐斯密等［7］对半主动干摩擦抗冲隔离器进行了优化设计，通过PID控制方法，确保了隔离器具有良好的隔振性，且使其保持了一定的抗冲击能力。Ismail［8］对二自由度的库仑阻尼系统进行了冲击振动分析，其使用摩擦阻尼控制残余振动，通过使一个附着在主体上的次级质量块在摩擦界面上滑动，来达到耗散能量的目的。张萌等［9］采用半波激励法和速度阶跃法分析了库仑阻尼中粘滞性对冲击响应的影响，结果表明，该粘滞作用可以减小系统的振荡，在频率比较大的系统中，粘滞性是不可忽略的因素。Balandin等［10］对冲击、振动隔离器进行了优化设计，指出开关弹簧与库仑阻尼组成的隔离系统可以实现对冲击的极限保护能力，但并未针对该隔离系统做进一步的分析。

本文将以具有指数规律的运动学方程为依据，分别研究库仑阻尼下的线性弹簧和开关弹簧系统的冲击响应，并与粘性阻尼进行对比分析，以探讨库仑阻尼在抗冲隔振系统应用中的优劣性。

1 抗冲隔离系统模型及库仑阻尼模型

1.1 抗冲隔离系统模型

图1所示为单自由度的抗冲隔离系统模型。图中，m为被隔离体（设备）的质量，k为刚度系数，c为阻尼系数，u为在基础上施加的激励载荷，y为被隔离体的绝对位移，为基础的绝对加速度。

图1 单自由度抗冲隔离系统模型Fig.1 An isolation system of single-DOF model

令相对位移x=y-u，可得系统的运动方程为

式中：α(c,)sign()为阻尼力；β(k,xn)sign(x)为恢复力；为被隔离体相对速度；为被隔离体相对加速度；为被隔离体相对速度响应；xn为被隔离体相对位移响应；上标r和n均为指数系数。

由上式，可以推断出指数规律特性包含如下6种情况：1）对于项，当 r=0 时，其为库仑阻尼；2）当r=1时，其为线性阻尼；3）当r=2时，其为平方阻尼；4）对于k|x|nsign(x)项，当n=0时，其大小恒定为开关弹簧弹性力；5）当n=1时，其为线性弹簧弹性力；6）当n≠0且n≠1时，其为非线性弹簧弹性力。

1.2 库仑阻尼模型

在工程应用中，通常使用sign函数描述库仑阻尼模型。理想的库仑阻尼函数为

式中：fc为摩擦力（库仑阻尼力）；μ为摩擦系数；Fn为作用在阻尼系统上的正压力。

式（3）为理想模型中的阻尼函数，但在工程实际应用中，库仑阻尼一定会存在粘滞性，若忽略粘滞性，就会使抗冲隔离系统产生振荡，导致仿真计算结果产生偏差，故在库仑阻尼计算中应准确描述粘滞性。库仑阻尼的粘滞性存在于被隔离体由静止到滑动阶段及速度为0的阶段。在上述阶段，被隔离体所受外力小于μFn，此时的阻尼力应为被隔离体所受外力之和P，故库仑阻尼模型可重写为

2 线性弹簧—库仑阻尼抗冲隔离系统

根据模拟的真实海上环境，舰载设备通常会受到来自水面爆炸产生的正、负双波冲击。根据德军标BV 043/85给出的设计冲击谱（等加速度谱为320g，等速度谱为7 m/s，等位移谱为43 mm），将其转化为如图2所示的正、负双波冲击下的加速度曲线［11］。本文抗冲隔离系统中，采用的设备质量m=15 kg，系统固有频率f=10 Hz，该参数在下述各仿真中均保持不变。

图2 正、负双波加速度曲线［11］Fig.2 Curve of acceleration of positive and negative double wave［11］

2.1 线性弹簧—库仑阻尼系统运动过程分析

本文抗冲隔离系统的阻尼力设定为200 N，计算得到被隔离体的绝对加速度和相对位移曲线如图3和图4所示。

图3 绝对加速度响应曲线Fig.3 Response curve of absolute acceleration

由图3和图4可以看出，相对位移曲线比较光滑，且呈衰减趋势，而绝对加速度则在峰值处产生了跳跃性下降(Δg)，其值恒定为2.72g。出现该跳跃现象的原因是当加速度峰值处的速度为0时，阻尼力的方向发生改变，从而产生了跳跃性变化。

图4 相对位移响应曲线Fig.4 The response curve of relative displacement

从图3还可看出，跳跃时间历程 Δt(Δt=(t+)-(t-))随着时间的推移而增大，这是阻尼中的粘滞性所致。图5所示为含粘滞性的库仑阻尼模型。图中，为相对速度，为临界速度。结合图3与图5可以看出，随着时间的推移，被隔离体加速度响应减小，系统在-至的经历时间变长，故跳跃时间历程Δt会随时间的增加而增大。

图5 粘滞性库仑阻尼示意图Fig.5 Schematic diagram of viscous Coulomb damping

2.2 线性弹簧—库仑阻尼系统变化规律

为研究刚度和阻尼对系统的影响，本文将刚度变化倍数k′取为0.1～6倍，库仑阻尼力fc取为50～300 N，通过仿真计算，得到如图6～图9所示的响应曲线。

由图6～图8可以看出：系统的绝对加速度幅值随刚度的增大而增大，在刚度保持不变的情况下，库仑阻尼力的增加仅使系统的绝对加速度响应幅值稍微降低；相对位移幅值随刚度的增加先减小后增加，在k′=1的附近产生了局部极小值；相对位移幅值的极小点随着阻尼力的增加而减小，且极小点处对应的固有频率随着阻尼力的增加而增大。

图6 加速度幅值随刚度和阻尼力的变化曲线Fig.6 Variation of absolute acceleration amplitude with stiffness and damping

图7 相对位移幅值随刚度和阻尼力的变化曲线Fig.7 Variation of relative displacement amplitude with stiffness and damping

图8 相对位移幅值随固有频率和阻尼力变化曲线Fig.8 Variation of relative displacement amplitude with natural frequency and damping

在研究冲击响应的过程中，一般将设备绝对加速度响应幅值和相对位移响应幅值的乘积与阶跃速度的平方之比称为系统缓冲系数η，以此表示系统抗冲击的极限性能，其值越小，说明系统的抗冲性能就越好。图9给出了不同库仑阻尼力下系统缓冲系数随刚度变化的曲线。由图可以看出，缓冲系数总体上随刚度的增大而增大，但存在一个转折点，从而使缓冲系数的斜率变大。

图9 缓冲系数随刚度和阻尼力变化曲线Fig.9 Variation of buffer coefficient with stiffness and damping

2.3 线性弹簧—库仑阻尼系统振动分析

抗冲隔离器除可降低被隔离设备的冲击响应外，还应具备一定的减振能力。本文对库仑阻尼系统和粘性阻尼系统进行了对比分析，通过对系统的基础施加振动信号y(t)=A01sinω01t（其中A01为振动幅值，ω01为固有圆频率），得到如图10所示不同库仑阻尼力下线性弹簧—库仑阻尼系统相对位移幅频曲线。

图10 线性弹簧—库仑阻尼系统相对位移幅频曲线Fig.10 Response curves of relative displacement amplitude for linear spring-Coulomb damping system

由图10可以看出，库仑阻尼在线性弹簧中可以减小系统固有频率附近（5 Hz＜f＜15 Hz）的共振幅值，每增加50 N的阻尼力，可降低0.02 mm的振动幅值。根据库仑阻尼与粘性阻尼等效的原则，对比分析了库仑阻尼力为100 N的粘性阻尼（等效阻尼比ζ=0.12）的振动特性。结果发现，摩擦阻尼力的减振效果远不如粘性阻尼，粘性阻尼相比于库仑阻尼可减小84.7%的位移幅值。

3 开关弹簧—库仑阻尼抗冲隔离系统

开关弹簧也是一种恒力缓冲装置，图11所示为文献［12］设计的一种恒力缓冲装置。为避免被隔离体与恒力缓冲装置间出现刚性碰撞，在缓冲装置凸轮滑轨的支撑头上设计安装了一个橡胶垫，以起到过渡的作用。该橡胶垫的等效线性刚度记为keq。

图11 恒力缓冲装置示意图Fig.11 Schematic diagram of constant force buffering device

鉴于开关弹簧与库仑阻尼相似，开关弹簧的弹性力F与位移的函数关系可以表示为式中：F0为恒力缓冲装置力；keq为弹簧缓冲元件的等效线性刚度；D为弹簧中缓冲元件的控制范围。根据式（1），可推导出该模型的运动方程为

3.1 开关弹簧—库仑阻尼系统运动过程分析

本文在分析开关弹簧—库仑阻尼系统的运动过程时，将开关弹簧的弹性力设为1 500 N，阻尼力设为200 N，被隔离体质量设为10 kg，计算得到如图12和图13所示的响应曲线。

由图12可以看出，在开关弹簧—库仑阻尼系统中，绝对加速度的跳跃现象非常明显，系统中由开关弹簧引起的跳跃为 Δg1(Δg1=2*F0/9.8*m)，在受到冲击的瞬间，被隔离体的绝对加速度达到峰值，此现象是由开关弹簧的弹性力所致。由于开关弹簧中缓冲元件的控制范围D很小，被隔离体的相对位移迅速超过D，使弹性力达到峰值，从而使绝对加速度也达到峰值。其后，被隔离体在位移峰值、速度为0处产生了较小的向下跳跃Δg2。

图12 绝对加速度、相对速度、相对位移响应曲线Fig.12 Response curves of absolute acceleration，relative velocity and relative displacement

图13 阻尼力与弹性力响应曲线Fig.13 The response domain curves of damping force and elastic force

3.2 开关弹簧—库仑阻尼系统变化规律

为对开关弹簧—库仑阻尼系统进行分析，将开关弹簧的弹性力取为1 000～5 000 N，阻尼力取为100～500 N,被隔离设备质量取为15 kg，计算得到如图14～图16所示的变化曲线。

由图14和图15可以看出，绝对加速度幅值随开关弹簧弹性力和阻尼力的增大呈线性增加；相对位移幅值随开关弹簧弹性力的增加呈先减小后增大的趋势，即每个阻尼都存在一个特定的弹性力（恒力）使其相对位移值最小，同时该最小值对应的弹性力随阻尼力的增大而增大。

图14 绝对加速度幅值随开关弹簧弹性力变化曲线Fig.14 Variation of absolute acceleration amplitude with elastic force of switch spring

由图16可以看出，系统缓冲系数总体上随开关弹簧弹性力和阻尼力的增大而呈线性增加，但在相对位移中存在最小值点，缓冲系数会产生一个转折点（见图中箭头处）。在转折点前，缓冲系数随开关弹簧弹性力的增加而增加较为平缓，过了转折点后，缓冲系数增加的斜率较大，并一直保持不变。

图16 缓冲系数随开关弹簧弹性力变化曲线Fig.16 Variation of buffer coefficient with elastic force of switch spring

图17 开关弹簧与线性弹簧的相对位移响应曲线Fig.17 Response curves of relative displacement for switch spring and linear spring

图18 开关弹簧与线性弹簧的绝对位移加速度响应曲线Fig.18 Response curves of absolute acceleration for switch spring and linear spring

4 开关弹簧与线性弹簧、库仑阻尼与粘性阻尼对比分析

4.1 开关弹簧与线性弹簧的对比分析

为分析开关弹簧与线性弹簧在库仑阻尼系统中的响应特点，在相同的冲击环境下，并保证阻尼力与最大相对位移幅值相同，对比了上述2种弹性系统的相对位移与绝对位移加速度响应，如图17和图18所示。

由图17和图18可以看出，开关弹簧—库仑阻尼系统的绝对位移加速度响应峰值要小于线性弹簧—库仑阻尼系统，但由于开关弹簧与库仑阻尼均为恒力，故在时域中绝对位移加速度未衰减；经过一个半周期后，线性弹簧—库仑阻尼系统的绝对位移加速度响应幅值开始小于开关弹簧系统。

4.2 库仑阻尼与粘性阻尼的对比分析

为分析库仑阻尼与粘性阻尼在开关弹簧中的冲击响应特点，在相同的冲击环境下，并保证开关弹簧恒力大小一致，同时库仑阻尼系统与粘性阻尼（线性阻尼）系统的最大相对位移幅值也相同，对比了上述2种阻尼系统的相对位移与绝对加速度响应，如图19和图20所示。

图19 粘性阻尼与库仑阻尼相对位移响应曲线Fig.19 Response curves of relative displacement for viscous damping and Coulomb damping

图20 粘性阻尼与库仑阻尼绝对加速度响应曲线Fig.20 Response curves of absolute acceleration for viscous damping and Coulomb damping

由图19和图20可以看出，在第1个周期内，库仑阻尼系统的绝对加速度幅值略小于粘性阻尼系统；随后，粘性阻尼系统的绝对加速度响应幅值与库仑阻尼系统的响应幅值接近于相等，而库仑阻尼与粘性阻尼系统的相对位移幅值在第1个周期结束后开始出现差别，亦即库仑阻尼系统的相对位移幅值逐渐小于粘性阻尼系统。可见，库仑阻尼系统的性能要优于粘性阻尼系统。

5 结 论

本文通过对库仑阻尼在不同刚度下并联组成的抗冲隔离系统的作用进行分析，得到如下结论：

1）在线性弹簧—库仑阻尼系统中，相对位移响应幅值随刚度变化倍数（1＜k′＜1.5）和固有频率（7 Hz＜f＜12 Hz）的变化，存在一个极小值点，当刚度变化倍数k′＞3、固有频率f＞15 Hz时，位移响应幅值逐渐减小；该系统中阻尼力对隔冲性的影响较小，刚度越小的系统其绝对加速度响应幅值越小，但当刚度很小时，系统的恢复力就很小，甚至不能使系统恢复到原位。

2）在开关弹簧—库仑阻尼系统中，相对位移响应幅值随弹簧弹性力F的增加呈先减小后增大的趋势，并在1 000 N＜F＜1 500 N范围内存在最小值；阻尼力的增加会增大绝对加速度响应，但可降低相对位移幅值。

3）开关弹簧—库仑阻尼系统无论是在抑制绝对加速度响应幅值方面，还是在降低残余响应方面，均略优于开关弹簧—粘性阻尼系统。