凹多边形性质初探

信攀年

摘 要：初中数学课本中《多边形》一章，对凸多边形作了详细介绍，因为它是平面几何，立体几何的基础，而对凹多边形没有多提。其实凹多边形也是一类重要的应用极广的多边形，在铁道桥梁，模具设计，建筑方面都可看到。笔者通过对比研究，发现凹多边形与凸多边形牲质很类似，得出一系列有价值结论，这不仅充实和完善了数学知识体系，更激发了学习，研究数学的热情。

关键词：初中 数学 凹多边形 探讨

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2019）07-0-01

初中数学课本中对于凸多边形的性质作了较为详细探讨，归纳出了许多有趣的性质：对角线、内角和、外角和，而对于凹多边形只是提出定义，对于性质并没有探讨。

经过笔者研究，发现凹多边形也是一类很有趣的多边形，它与凸多边形有许多相似的地方，现作以展示。

1.比较凸多边形和凹多边形定义，可以看出二者本质区别：凸多边形的内角都是小于平角的角，而凹多边形中至少有一个大于平角而小于周角的角。

2.凹多边形对角线，与凸多边形对角线一样，从凹n边一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把凹n边形分成（n-2）个三角形。凹n边形也有n个顶点，故凹n边形共有条对角线，这与凸n边形完全一样，稍有不同的是，凸n边形所有对角线都在其内部，而凹边形有位于外部的对角线，对凹五边形和凹六边形为例，凹五边形ABCDE共有五条对角线，其中AC、AD、CE三条在外部，两条BE、BD在内部，凹六边形ABCDEF共九条对角线，其中四条BD、BE、BF、DF在内，五条AD、AC、AE、CF、CE在外部。

3.凹多边形内角和，由图1可以看出，从凹五边形ABCD顶点可引两条对角线AC、AD，将该凹五边形分成三个三角形，其内角和3×180°=540°，从凹六边形ABCDEF顶点A可引AC、AD、AE三条对角线，将该凹六边形分成4个三角形，其内角和4×180°=720°，依次类推，从凹n边形一个顶点可引（n-3）条对角线，将该多边形分成（n-2）个三角形，故凹n边形内角和（n-2）·180°这与凸n边形内角和完全一样。

4.凹多边形外角和我们知道，凸n边形外角和360°，而凹n边形又如何呢？首先，凹n边形中有大于平角的角存在，故凹n边中大于平角的角没有课本中定义的外角，也就是凹多边形没有像凸多边形那样的外角和。但一个数学问题的解决不能停留在已有的知识或认识阶段上，固步自封，就找不到解决问题方法，可以做设想：把凹多边形中大于平角的角 的反方向所对的那个角做为该角的“外角”，例如图2中凹五边形ABCDE中∠EDC就是内角，∠EDC的外角显然，这两个角的和为360°，这样一来，就可以求凹n边形内角和。

设凹n边形中有s个小于平角的角，用α1，α2……αs表示，有p个大于平角的角，用β1，β2……βp表示，显然有s+p=n，且α1+α2+…+αn+β1+β2+…+ βn=（n-2）·180°

其外角和：（180°- α1）+（180°-α2）+…+（180°-αs）+（360°-β1）+（360°-β2）+…（360°-βp）

=180°·s+360°·p-（α1+α2+…+ αs+β1+β2+…+βp）

=180°·s+360°·p-（n-2）·180°

=180°（s+2p-n+2）

=180°·（p+2）

这就是說，凹n边形外角和，取决于它的大于平角的角的个数p，大于平角的角越多，外角和越大，每多一个大于180°的角，外角和增加180°，该公式与凸n边形内角和公式（n-2）180有相似之处。当P=O时，凹n边形外角和360，也就是凸多边 形外角和，总之，凹多边形也是一类重要的很有趣的多边形，很有必要做进一步探讨。

总结

凹多边形是一类很重要的多边形，在工程.建筑领域应用广泛，它的许多性质与凸多边形有类似之处，值得研究，幵发，应用。