抽象代数中引入群的概念的一个教学案例

【摘要】本文以抽象代数课程教学中群的概念的引入为案例，阐述了通过创设情境和问题为导向的教学，由一些具体的例子和一个有趣的游戏活动，引导学生思考，帮助学生更好地理解这一概念。

【关键词】抽象代数  群  探究式教学

【基金项目】重庆市教委科学技术研究项目（KJQN201800509），重庆师范大学基金项目（18XLB001）。

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）13-0119-01

“抽象代数是一门研究代数结构的课程，内容非常形式化。这种形式化和公理化的训练是必要的，但这不是最本质的。学生心目中没有大量的例子，只有关于群环域的抽象定义、概念和推理，不能真正理解和鉴赏书上的定理和结论”[1]。在本文，我们以抽象代数课程教学中群的概念的引入为例，说明怎样通过通过创设情境，由一个具体、生动的例子，引导学生探究，帮助学生更好地理解这一概念。

著名教育学家杜威最早提出了探究式教学的概念。探究式教学，又称为探索发现、问题解决式教学，要求在学生学习概念和原理时，教师给他们提供一些实例和问题，让学生自己通过观察、实验、思考和讨论等途径去独立探究，自行发现并掌握相应原理和结论[2]。抽象代数课程的教学，不仅仅是要让学生学习一些概念和结论，更重要的是要学习思考问题的过程或方法.通过创设数学问题情境，呈现给学生有趣的数学问题，可以激发学生学习数学的兴趣、好奇心和求知欲。

众所周知，三次、四次多项式方程有求解公式。1824-1826年间，阿贝尔证明了高于四次的多项式方程一般不能用根式求解。1832年伽罗瓦对这个问题给出更确切的解答，他引入了置换群、正规子群、群同构、数域的扩域等概念。此后，李、克莱因、庞加莱等在微分方程、几何学、自守函数的研究中，都用到了群的概念。从有限置换群的产生到抽象群定义的形成，这一发展过程是最终引向建立抽象代数学的一个重要来源。

群的概念，是学生在学习抽象代数课程中遇到的第一个重要概念。群是具有一个运算的代数结构。设G是一个非空集合。在G上有一个二元运算“·”，使G中任意两个元素a、b依照次序联结起来的结果a·b仍是G中完全確定的元素，并满足下列三个条件，即所谓群的公理，则称G对于运算“·”成为群（[3，4]）：

（1）结合律：若a、b、c是G中任意三个元素，则（a·b）·c=a·（b·c）。

（2）存在单位元：在G中有一个元素e，使得对G中任意元素a都有e·a=a·e=a。称e为G的单位元，有时用1表示单位元。

（3）存在逆元：对G中任意元素a，都有G中一个元素b使得a·b=b·a=e。称b为a的逆元，常用a-1表示。

通常称G上的二元运算·为乘法，称a·b为a与b的积，并简写为ab。若群G对乘法还适合交换律，即对G中任意两个元素a、b都有ab=ba，则G称为交换群（或阿贝尔群）。此时常将运算“·”改为“+”，并相应地改称乘法、积、单位元e、逆元a-1为加法、和、零元0、负元-a。

与多项式、线性方程组等高等代数课程中的内容相比，群的概念更加抽象。为了帮助学生更好地理解这一概念，我们采取的策略是通过一些具体的、形象的例子，将这个概念与已有的知识联系起来;通过一个游戏引导学生思考群与变换。

（一）通过一些熟知的例子认识群，例如：（1）全体整数的集合对于数的通常的加法“+”是一个群，而且是交换群，此时单位元就是数0，而a的逆元就是-a。全体有理数、全体实数、全体复数、对于加法也都是交换群。全体偶数、全体形如a+bi的数（a、b为任意整数、有理数、实数）对于加法也都是交换群。（2）全体非零的有理数、实数、复数，对于通常的乘法都是交换群。全体正有理数、正实数对乘法也都是交换群。（3）全体非零整数的集合对乘法不是群。通过上述例子，让学生意识到，从我们学习整数的加法开始就已经在用“群”这一抽象的代数结构。同时，也让学生思考，所有n阶实矩阵关于加法、乘法是否构成群。

（二）通过一个数学小游戏，引导学生思考群与变化。

游戏一：我们将一张正方形的纸沿两边的中线四等分剪开，分别将四个小正方形标注上字母1、2、3、4。将四个小正方形任意摆放组成大正方形，如下图所示：

从左上角开始沿顺时针方向，分别将小正方形的位置标记为1、2、3、4。在下面的数表中，第一行的数字表示小正方形的位置。我们可以将这一过程记为：

1   2   3   41   2   3   4？圯1   2   3   42   1   4   3.

让学生写出拼成大正方形的所有的可能（共有4！=24种），并定义任意两种拼法的运算（乘法）为它们的合成，例如：

1   2   3   42   1   4   3·1   2   3   44   3   2   1=1   2   3   43   4   1   2.

可以验证它们作成群。

游戏二：如上将一个大正方形沿中线折出四个小正方形，按顺时针方向分别标注上1、2、3、4，但是不要剪开。旋转或翻转正方形，从左上角开始按顺时针方向可以读出不同的数字排列，如将正方形逆时针旋转90°可得1   2   3   42   3   4   1，这样不改变正方形形状的变化共有八种，分别为1   2   3   41   2   3   4，1   2   3   44   1   2   3，1   2   3   42   1   4   3，1   2   3   43   4   1   2，1   2   3   42   3   4   1，1   2   3   43   2   1   4，1   2   3   41   4   3   2，1   2   3   44   3   2   1可以验证它们关于上述运算也构成群。事实上，游戏一得到的是一个对称群，游戏二得到的是二面体群。

对于抽象代数课程如何进行教学，才能提高学生学习的主动性、积极性，使学生更好的掌握知识体系和基本方法，促进学生的逻辑思维、抽象思维能力的发展是每一位抽象代数课老师应该思考的问题。从我们的教学实践中发现，一些有趣的或简单的问题可以引起学生很大的学习兴趣，能更好的激发学生的思考，帮助他们形成数学概念，提高抽象思维能力。

参考文献：

[1]冯克勤.高校代数教学的一些实践与思考[J].高等数学研究， 2006（4）：4-7.

[2]荷烈治，哈尔德，卡拉汉等.教学策略：有效教学指南[M].牛志奎译.北京：中国人民大学出版社， 2011.

[3]M. Artin.代数（英文版第2版）[M].北京：机械工业出版社， 2012.

[4]姚慕生.抽象代数学（第二版）[M].上海：复旦大学出版社， 1998.

作者简介：

任伟（1983-）， 男，甘肃文县人，博士，副教授，主要从事代数学方面的教学与研究。