映射概念的教学研究

优丽吐孜·阿力木 阿力木·阿不力克木

【摘 要】集合论是现代数学的基础，集合概念是很抽象的，映射概念是研究集合的有力工具和重要的方法。本文用較通俗的方法介绍了映射﹑满射﹑单射﹑恒等映射、常值映射、一一映射﹑复合映射﹑逆映射等概念，给中学数学师生提供参考。

【关键词】映射；满射与单身；一一映射；恒等映射与常值映射；复合映射与逆映射

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0178-02

在我国高中数学教科书中关于映射的概念介绍的很少。下面将用较通俗的方法介绍映射﹑满射﹑单身﹑恒等映射、常值映射、一一映射﹑复合映射﹑逆映射等概念，给中学数学师生提供参考。

1 映射的概念

定义1 设A﹑B是两个集合，若存在某种对应法则，使得A中的每一个元素，都与集合B中的唯一的元素b相对应，则叫做从集合A到集合B的映射[1]。记作：A→B（或AB）。若集合A的元素，在下映射到集合B的元素b，b就叫做在映射下的象。记作。而把集合A中所有以b为象的元素构成的集合{|，}，叫做元素b的原象。记作，即={|，}，显然它是集合A的子集。

集合A叫做映射的定义域，集合A的所有元素的象构成的集合，叫做映射的值域。记作，即=。

由映射定义，可理解为下述三点。

（1）集合A中每一个元素必有唯一的象；

（2）对于集合A中的不同元素，在集合B中可以有相同的象；

（3）允许集合B中元素没有原象。

2 恒等映射与映射相等

2.1 恒等映射

定义2 设：A→B是映射，当B=A时，则叫做从A到A的映射，即是由A到其自身的映射，可简称映射是集合A上的映射[2]。记作：A→A。

例1 设A={1，2，3}，是A上的整除关系，即={（1，1），（2，2），（3，3）}，（1整除1，2整除2，3整除3），则是集合A上的映射，如图1。

定义3 设是集合A上的映射，当时，则称为集合A上的恒等（同）映射，即恒等映射对每个元素来说其象均与原象相同。

2.2 映射相等

定义4 设与是集合A到集合B的映射，两个映射与被称为相等的，就是映射与的定义域相等，是指对于A中的任一个元素，其对应的象均相等，

即：

3 满射与单射

3.1 满射

定义5 设：A→B是集合A到集合B的射射，若成立，则称为集合A到集合B的满（全）

射[3]。即集合B中的每一个元素都至少是集合A中的某一元素的象。

例2 判断下列两个映射是否满射？

答：图2是满射，图3不是满射。

3.2 单射

定义6 设：A→B是集合A到集合B的映射，对于集合A中任意两个元素，当时，都有，则称为集合A到集合B的单射（单一映射）。即集合A中的不同元素在集合B中的象也

不同。

4 一一映射（双射）与常值映射

4.1 一一映射（双射）

定义7 设A﹑B是集合，：A→B是集合A到集合B的映射，如果既是单射又是满射，则称为集合A到集合B的一一映射（或称双射）。

一一映射必须满足如下三个条件：

（1）集合A中的每一个元素，都能在集合B中找到一个确定的元素b，作为它的象。即象是唯一的。

（2）集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象，也就是若，则必有。即集合B中的每一个元素的原象也是唯一的。

（3）集合B中任意一个元素b，都在集合A中有原象，即原象必须是存在。

小结：映射、单射、满射、一一映射四者的从属关系。如果把它们分别看作集合，那么四者的从属关系：

4.2 常值映射

定义8 设A﹑B是集合，：A→B是集合A到集合B的映射。若对于一切，都有，而是B中的一个固定的元素，即单元素集），则称映射为常值映射。如设，，作映射

则映射是一个常值映射。因为对于一切，都有。

5 复合映射与逆映射

5.1 复合映射

定义9 设A、B、C是集合，：A→B是集合A到集合B的映射，：B→C是集合B到集合C的映射。对于A中的任何一个元素，在映射下，在B中有一个元素与对应，即→；在映射下，在C中有一个元素与b对应，即→，从而对A中的每一个元素，在C中有与相对应，即，这样就得到了一个从集合A到集合C的映射，称映射为映射与映射的复合映射（或映射是映射与映射的积）。记作

或

5.2 逆映射

定义10 设A、B是集合，：A→B是集合A到集合B的一一映射，对于每一个，有唯一的，使得。我们规定为B到A上的映射：，则称为映射的逆映射。

定理11 设A、B是集合，：A→B是集合A到集合B的一一映射，则映射的逆映射是B→A上的一一映射。

【参考文献】

[1]韩殿发.集合[M]，哈尔滨：黑龙江科学技术出版社，1984.

[2]李大友.离散数学[M]，北京：清华大学出版社，2001.

[3]中华人民共和国教育部制定.北京：普通高中数学课程标准[M]，人民教育出版社，2018.

【作者简介】

优丽吐孜·阿力木（1991～），女，维吾尔族，西南大学数学与统计学院数学教育专业硕士研究生，导师为宋乃庆教授，主要从事数学教育研究。