高中数学用二级公式解抛物线教学研究

王吉艳

【摘 要】圆锥曲线问题是高中数学的重点，也是高考试题重点考查的内容，难度系数较大。抛物线题型的掌握程度是学生学好圆锥曲线的信心所在。所以老师这部分的教学中，要掌握本节知识点及命題规律的核心所在。本文就高中数学抛物线解题如何利用二级公式进行实例讲解。

【关键词】数学；抛物线；二级公式

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0155-02

通过对近几年高考命题规律和学生对抛物线题型的答题情况，再结合教学经验中大部分学生的理解程度分析归纳，笔者总结得出以下几点结论。供老师借鉴

参考。

1 直线与抛物线相交题型二级公式的提炼方法

图1直线过轴一定点时，与抛物线两交点纵坐标之积为定值；直线斜率一定时，与抛物线两交点纵坐标之和为定值，令直线的方程为，与抛物线的交点，与轴交一定点，

联立方程组，

直线代入曲线变形的，

直线与抛物线有两个交点。

由韦达定理有，

特殊的，当定点恰好与抛物线焦点重合时，即，。

（1）弦长公式与焦点三角形面积公式，弦长公式：

焦点三角形面积：

令直线的倾斜角为，则

（2）直线的斜率与弦中点纵坐标之间的关系中点

（2）点差法

设交点坐标为，代入抛物线方程，得

将两式相减，可得

2 二级公式的应用实例

【例题1】：图2，A，B是抛物线上的两点，满足0A⊥0B（0为坐标原点），求证：

（1）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是

定值；

（2）直线AB经过一定点。

【解析】：

直线AB的方程为

故直线过定点。

分析：当直线过轴一定点时，与抛物线两交点纵坐标之积为定值，反之当直线与抛物线交点横坐标或纵坐标为定值时，直线必过轴上一定点。特殊的，当定点横坐标为2P时，两交点与坐标原点的连线相互垂直。此证明过程需熟知，抛物线中定点定值问题就迎刃而解了。

【例题2】：过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M（3，2），则△ABO的面积等于多少。

答案：或

解析：由弦中点M（3，2）可知斜率，，则直线AB为，

所以，

解得P=2或P=4。当P=2时，t=1，

；

当P=4时，，。

分析：此题难度较大，计算量较大，但是掌握二级结论后可以大大减少计算量，填空题完全可以省去中间的繁琐计算。

结论一中两个定值可以快速应用在选择填空题中，再解答时需要证明结论，所以要求学生不仅要知其然还要知其所以然。其中的反设直线的好处就是不用讨论斜率不存在的情况，而且还大大减少了计算量。结论二中根差公式和弦长公式是每个学生必须掌握的，记住结论同样可以减少不必要的繁琐计算。