“杨辉三角”的应用探究

黄福龙

【摘 要】杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，它的两条斜边都是由数字1组成，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和，它的发现具有巨大的历史意义，是中国古代数学史上精彩的一页篇章，杨辉三角内容丰富是数学学科核心素养与思想方法的重要体现。本文将通过杨辉三角与二项式定理等知识结合以及杨辉三角在生活中应用的一些例题，揭开杨辉三角的奥秘，并感受数学的美与乐趣。

【关键词】杨辉三角；二项式定理；纵横路线图；莱布尼茨三角形；数学文化

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章編号】1671-8437（2019）10-0082-03

杨辉三角是中国古代数学家贾宪发现，也称贾宪三角，并被南宋数学家杨辉辑录在《详解九章算法》一书中，这一发现比西方的“帕斯卡三角形”早了5个世纪，具有重大的历史意义和民族自豪感，下面我们先感受一下杨辉三角中的数字特征。

1 杨辉三角与斐波那契数列

例1 图1是杨辉三角，对图1中的数字进行分析，我们容易得到以下特征。

（1）杨辉三角两腰都是由数字1组成，其余的数都等于它肩上的两数相加。

（2）杨辉三角的第n行就是展开式的系数，即。

（3）当P为质数时，第P行除去两端的数字1以外的所有数都能被P整除[3]。

（4）。

（5）写出图1中斜线上各行数字的和，得到1，1，2，3，5，8，13，21，34……，此数列满足，且（n3≥3），这就是著名的反映自然规律的斐波那契数列。

由此，我们可知道杨辉三角的内容丰富奇妙，又极具变化，令我们不禁为之痴迷，下面通过一些例题来感受杨辉三角在高考中的神奇魅力。

2 杨辉三角与二项式定理的结合

例2 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到图2所示的0—1三角数表。从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，……，第n次全行的数都为1的是第几行？

解析：由题得，全行的数都为1的分别是第1行，第3行，第7行，第15行……，又因为数1，3，7，15……的通项为2n-1，所以第n次全行的数都为1的是第2n-1行。

例3 在 的展开式中，把， ，，……，叫做三项式的n次系数列。

（1）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空：

三项式的2次系数列是_____；

三项式的3次系数列是_____。

（2）二项式的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图3。

①当时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数列的数阵表；

②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：，类似的请用三项式的次系数表示（无须证明）；

（3）试用二项式系数（组合数）表示。

解析：（1）三项式的2次系数列是1，2，3，2，1；三项式的3次系数列是1，3，6，7，6，3，1。

（2）①三项式的次系数的数阵表如下：

②观察得：

（3）因为，由（Ⅱ）②得

，

，……，

所以，又，

故由得

因此，，，……，

累加并化简得，。

例4 观察如下数表的规律（仿杨辉三角：下一行的数等于上一行肩上相邻两数的和）：该数表最后一行只有一个数，则这个数是____.

解析：观察规律，发现：第1行有3个数时，最后一个数为8=23-2（3+1），第1行有4个数时，最后一个数为20=24-2（4+1），第1行有5个数时，最后一个数为

48=25-2（5+1），……，第1行有2017个数时，最后一个数为22017-2（2017+1）=22015×2018。

从以上3题例题中，我们看到杨辉三角和数列及二项式定理等应用结合，试题难度大，变化多样，既考查了学生的归纳推理能力，也考查了由数表探究数列的规律，根据数字的排布规律，计算数表数列问题，以及数列的应用，要求学生具有分析问题和解答问题的能力[1-2]。这恰恰也说明杨辉三角具有很高的数学地位，下面再从生活上去体会它在实际生活中的应用。

3 杨辉三角在实际生活中的应用

例5 杨辉三角与纵横路线图

“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图6是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处（只能由北到南，由西向东），那么有多少种不同的走法？

答案 从图7所示，A到每一个交叉点的走法其实蕴含着杨辉三角的知识，易知答案是70。

可以说将杨辉三角进行恰当的变化，就可以得到很多奇妙的结论，其中蕴含着丰富的数学思想。

例6 杨辉三角与弹子游戏

如图8的弹子游戏，小球（黑色）向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？

解析：将杨辉三角形中每一个数都换成分数， 就得一个由分数组成的三角形（如图9，此图称为莱布尼茨三角形，它与杨辉三角形有相似的性质，即莱布尼茨三角形中的每一个数都等于其“脚下”两数之和，即

，

此性质体现了数学的和谐美。

将杨辉三角在现代生活中的充分体现，不仅让数学变得直观，也可以提高学生学习的兴趣，是学生体会到数学是源于生活并高于生活。

杨辉三角有着丰富的内涵，渗透着函数与方程，归纳猜想，化归与转化的数学思想方法。有些性质对于高中生来说，并不要求严格证明，但是当让学生学会归纳推理，提高分析问题和解决问题是一件重要的事情，它与二项式定理斐波那契之间的奇妙联系是人们对数学不断认识理解的结果，是打开科学大门的钥匙，是科学的语言，思维的工具，，是一种思想方法，，一种理性的精神。本文中的例题可以使学生能在深入理解杨辉三角与二项式定理之间联系的同时，又提高了学习数学的趣味性，进一步学会用联系与发展的眼光看问题。

【参考文献】

[1]严士键，张奠宙，王尚志。普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.

[2]刘绍学，章建跃.普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-3）[M].北京：人民教育出版社，2009.

[3]吕百灵：研究性学习——杨辉三角的两个应用[J].中学生数理化（教与学），2009（11）.