类比激发数学思维 提高学习迁移能力

乐海霞

【摘 要】类比是探究未知事物的工具，是数学活动中伟大的引路人。等比数列和等差数列仅一字之差，具有某种可比性，用类比思想去认识等比数列，体会类比是探究未知事物的引路人。

【关键词】等比数列；类比；数学思维

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0061-02

1 教学内容解析

本课来自人教A版必修5中的2.4节.学习了等差数列的定义、通项、性质及前项和，对于特殊数列要探究哪些知识，运用哪些方法，学生有了一些经验。

本课研究内容是等比数列，等比数列和等差数列仅一字之差，具有某种可比性，引导学生用类比思想认识等比数列，体会类比是探究未知事物的引路人。

难点在等比數列与等差数列之间的差异使类比的结论有或然性，要引导学生分类讨论。

2 教学目标设置

（1）从实际问题抽象出数列模型过程中理解等比数列定义，掌握等比数列的通项公式、等比中项，理解等比数列与指数函数的关系。（2）从等比数列通项公式的探讨过程中感受研究特殊数列的思路与方法；会用定义判断等比数列，会求等比数列的通项公式、等比中项。（3）类比指数函数图象，探索等比数列通项公式的图象特征及与指数函数之间的关系[1]。

3 学生学情分析

学习《函数》，对函数的研究结构和方法有了体验，对指数函数有一定的认识；学习等差数列的定义、通项公式、性质和前项和，经历特殊数列研究的一般过程，有从特殊到一般、具体到抽象的思维经历。

4 教学策略分析

采用问题启发和自主探究的教学方式。学生研究过等差数列，熟悉特殊数列要探究的知识及所用的方法。重点是用类比的方法探究等比数列的定义和通项公式，尝试用已有知识去类比，使学生经历由表及里的探究

过程[2]。

5 教学过程

5.1 教学目标

（1）通过实例理解等比数列的概念。

（2）通过类比等差数列探索等比数列的通项公式，会根据定义判断等比数列，会求等比数列的通项公式并简单应用。

（3）类比指数函数图象，探索等比数列通项公式的图象特征。

5.2 教学重点

等比数列的定义和通项公式。

5.3 教学难点

等比数列与指数函数的关系。

5.4 教学过程

5.4.1 创设情境引入新课

师：《孙子算经》卷下有题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何。”

生：9，81，729，94，95，96，97，98。

师：从前后项来看，这列数有什么特点？

生：后一项比前一项是同一个常数。

师：有这个特点的数列在生活中很常见。细胞分裂个数组成数列1，2，4，8，……。“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”若把“一尺之捶”看成单位“1”，得到数列是：1，，，，……。还有银行复利问题等。今天我们学习等比数列。

意图：从《孙子算经》的名题引入，注重数学知识的历史文化向度，让学生体验知识形成过程，享受数学的有用性、有趣性。

师：前面研究了等差数列的哪些内容？

生：等差数列的定义，等差中项的概念，等差数列的性质、通项公式及前项和。

意图：温故知新，对所学知识起到先导作用，渗透类比思想。

师：从名称看，等比数列和等差数列仅一字之差，有某种可比性，用什么方法来研究等比数列的哪些内容？

生：用类比等差的方法学习等比数列的定义，等比中项的概念，等比数列的性质、通项公式以及前项和。

意图：明确本节课的任务：学什么？怎么学？

5.4.2 小组合作探究新课

参考任务单，类比等差数列，小组对等比数列中的知识点加以探究，小组内讨论、交流。

意图：发挥学生主体性，体验类比探究的过程，学生的独立思考、同学间的合作交流，培养自主学习的能力。

5.4.3 成果展示推进新课

展示一等比数列的定义

生：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q1 0），其符号语言是。

意图：通过学生的独学、合作等方式，类比得出等比数列的定义，尝试用递推公式描述等比数列。

追问：（1）说出三个等比数列的公比；（1）9，81，729，94，95，96，97，98（2）1，2，4，8，……。（3）1，，

，，……。

举例：（1）一个公比为的等比数列；（2）一个公比为的等比数列；（3）一个不是等比数列的数列；（4）一个既是等差数列又是等比数列的数列。

师生小结：，

意图：引导学生理性思考，突出等比数列本质属性，加深对等比数列定义的理解。

聚焦一 等比中项的概念

师：要构成一个等比数列，项数最少几项？

生：3项

师：3项成等比，有什么发现？

生：在与b中间插入一个数G，使，G，b成等比数列，那么G叫做与b的等比中项.其符号语言表示为：G2=b，

生：任意两个数都有等比中项？若G2=b，则，G，b成等比数列吗？

生：不成立，当，时，不成立。

师生完善小结。

意图：等比中项是等比数列的特殊情况，通过学生的类比、探究，理解等比中项的概念。

探究二 等比数列的通项公式

师：若聚焦到等比数列的特定项，研究什么？

生：通项公式。（学生上台板演推导过程）

老师提炼：若确定了一个等比数列的首项和公比，就可以求出通项公式。

意图：类比等差数列通项公式推导方法，经历等比数列通项公式的推导，感受类比是伟大的引路人。

师：可从几个角度来认识等比数列的通项公式呢？

生：方程角度和函数角度。

师：很好！从方程角度来看，有什么启发？

聚焦二 等比数列与指数函数的关系

师：若从函数角度来看，等比数列与什么函数有关？（请学生成果展示）

教师借助信息技术，帮助学生认识等比数列通项公式的图象特征，归纳等比数列通项公式与指数函数间的联系。

意图：体会等比数列与指数函数间的联系，加强直观感受，体验数列是一种特殊的函数。

5.4.4 成果运用内化新课

例1.已知数列满足：，求的通项公式。

变式：已知数列满足：，，

（1）证明：是等比数列；（2）求的通项

公式。

意图：通过变式提高学生对知识的运用水平，熟练用定义判断或证明数列是等比数列。

例2.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第5项。

拓展：求例2中的第5项，除用知三求一的基本量思想，还有其他办法吗？

意图：熟练知三求一过程，让学生理解公式的本质，拓展为下节课对性质研究铺垫。

5.4.5 归纳总结收获新课

（1）归纳研究特殊数列的思路

生：知识体系上可学习特殊数列的定义、通项、性质、前项和；思想方法上可用类比的方法学习新数列，推导通项公式时可用特殊到一般的归纳法。

（2）类比对你有什么启发吗？

生：学习了等差数列、等比数列，可用类比的方法学习等和数列、等积数列。

生：在学习等差数列时，若、是等差数列，则数列也是等差數列，若、是等比数列，则数列也是等比数列吗？呢？

6 结束语

师：我们用类比等差数列的方法，完成本节课的探究。我们感叹：类比，一个伟大的引路人！但类比，仅仅是引路，怎么走，得靠自己一步一个脚印地走！只有这样，我们才能领略到人生不一样的风景！

【参考文献】

[1]闫桂琴.中学数学教学论[M].北京：北京师范大学出版社，2010（7）.

[2]张奠宙，宋乃庆.数学教育学（2版）[M].北京：高等教育出版社，2009（1）.