寻找本源 通法解题

周晓

【摘 要】针对高三复习课中的一道基本不等式问题，本文利用学生的一种错误解法展开讨论，通过对引例的层层变式，说明各种错误产生的原因，探究出一种解决双变量最值问题的一种通法。教师在解题教学中应注意引导学生发现题目考查的本源，利用解决这类问题的通法解决问题。

【关键词】通法；双变量；消元法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）16-0072-02

高三的学生在复习过程中会做大量的题，很多题目听得懂，但是自己动手却经常会错，这是因为没有理解这道题目所要考察的数学本质，因此，教师在教学过程不应盲目给学生做大量的题，应该在教学中采用变式法教会学生做一类题。以下是高三复习中的一道辐射功能很强的例题，其内容是均值不等式极其应用。

1 抛出问题，集思广益

引例：已知且，求（1）的最小值；（2）的最小值。

学生1：（1）≥，

≥2，≥4当且仅当时取等号。（2），≥4。当且仅当时取等号。

这种做法充分利用了均值不等式及其推论的结构，课堂上学生解决该问题时很顺利。但是笔者将这题进行变式，解答情况出乎笔者意料。

变式一：已知。（1）求最小值，（2）求最小值。

学生2：跟引例类似解法≥，

≥8，≥64当且仅当即、时，取等号。但是该生在解答（2）时却做不下去了。

≤……

学生3（错解）：由（1）知最小值为64，≥≥。

2 发现问题，及时改正

此题错误原因为学生不知道两次基本不等式等号成立条件不一样。第一个是时取等号，第二个是时。个别学生虽然发现了这个“取等”问题，但是又不知道该如何正确解答。有的干脆放弃，只有极少数学生得出以下解法：学生4：两边同除以，

得，≥18。当且仅当，即时取等号。

学生5：将变形得。于是+10≥，当且仅当即、时取等号。

3 再次变式，寻找通法

变式二：判断和有无最值。

，换元，转化为≥0，解得≥7或≤1。即≥49或≤1，当且仅当，即时取得最小值49，但是还有一个最大值1，此时，有最大值1？最小值49？学生困惑了。问题出在哪里呢？显然这种方法是有缺陷的。

第二问：的形式无法进行下去。下面用因式分解的方法：，化简为，则≥，当且仅当即时取等号，看似没问题，但这个基本不等式应用的前提是，显然不符合定义域要求。因此我们要回到这个问题的本源上去考虑，研究目标：和的最值。由已知得。则，现在我们来研究和对应的关于的函数的最值问题了，求解一个函数的最值的方法就多了，我们先来看下最常见也最保险的导

数法。

令或

得=1，所以在区间和（1，+∞）上单调

递增，在区间（8，1）上单调递减。因此只有一个极小值，无最大值和最小值。令，

，得=2或=14都在定义域范围内，在区间（0，2）和（14，+∞），上单调递增，在区间和（8，14）上单调递减。因此的极大值为，的极小值为（14）=49，的值域为（0，1]∪[49，+∞）。

4 使用通法，解决引例

变式一：已知（1）求最小值，（2）求最小值。

解：由，得，因此，（这点很重要），，

，解得，因此在区间（8，12）上单调递减，在区间（12，+∞）上单调递增。因此有最小值。变式二由解得的范围就是，之后的基本不等式≥就不能使用了。因此借助消元法转化为一个函数最值问题是解决这类问题的最通用最保险的方法。但是在一定条件下也可以用均值不等式。

由以上可以发现，教师应该引导学生学会解决问题的一般方法，而不仅仅是一些技巧，一般方法是通途，技巧是辅助。找到解决问题的通法的有效途径就是把握数学的学科思维特征，遵循數学的思维特征看待问题。如函数的思维特征就是分析一个变量的变化引起另一个变量如何变化，当遇到两个变量的时候就要转化为只含一个变量，代换、消元的时候要注意新元的范围。再如解析几何的思维特征就是用代数方法研究几何问题，首先要在坐标系内把几何图形进行代数表示，进而用点的坐标表示，理成方程，通过研究方程得到几何图形的性质。这些数学通法的扎实把握是落实数学六大核心素养的有效途径。在解决问题中重视通法，有利于强化数学基础知识，培养数学能力，养成良好的思维品质。