“变限法”证明积分不等式的方法初探

邹全春

【摘 要】积分变限函数是一种特殊形式的函数，它和普通函数一样同样具有各种运算性质及其运算，如极限、导数、极值、积分等。利用积分变限函数的性质和运算证明积分不等式是非常好的一种方法，本文通过若干例题探讨证明积分不等式一种有力的方法——“变限法”。

【关键词】积分不等式；积分变限函数；变限法

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0016-02

含有积分形式的不等式，也就是通常所说的积分不等式，是考研、数学竞赛中经常遇到的一类证明问题，它是高等数学中比较难证明的一类不等式，往往具有较高的技巧性。一般来说，对于这类题目，学生往往难于下手。其实积分不等式的证明有很多思路，比如利用单调性、最值，微分中值定理、定积分性质、二重积分等。本文通过若干例题探讨证明积分不等式一种非常有力的方法--“变限法”。

一、关于积分变限函数的有关定理和结论

定理：若函数在上连续，，

二、“变限法”例证积分证明不等式

所谓“变限法”，就是根据命题不等式，构造适当的辅助函数，辅助函数为积分变限函数，再利用积分变限函数的求导及其他数学知识积分证明不等式。

例1 设、均是上的连续增函数，证明：

分析：第一步，作辅助函数，将证明的结论中的积分上限换成，式中相同的字母也换成，移项使不等式一端为0，则另一端的表达式即为所做的辅助函数；第二步，求辅助函数的导数，并判断的单调性；第三步，求出在端点的函数值，进而得出题目的证明。

证明：作积分变限函数

因为均是上的连续增函数，所以

，从而，故在上单调减少。又因为，所以，即：

从而得：。

例2 试证：

分析：类似1从结论出发将证明的结论中的积分上限换成即作出辅助函数。

证明：作积分变限函数

从而在内单调递增，故，

进而得，

即。

于是根据定积分的性质知：

例3 設在上连续，且严格单调减少，证明：当时，

分析：类似1从结论出发，以为变量构造辅助

函数。

证明：作积分变限函数

因为在上连续，且单调减少，所以由积分中值定理得：

。当时，，，单调递增，从而；同理：当时，，，单调递增，从而。

故：当时，即 。

综上所述，对于某些积分不等式，我们可以根据积分不等式的特点选择恰当的积分区间，尝试在相应区间上构造出合适的辅助函数，这些辅助函数是变上限的定积分形式，借助积分变限的函数求导，利用单调性、最值，微分中值定理、定积分性质、二重积分等来证明不等式。因此，“变限法”是证明积分不等式一种非常有力的方法。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]孙振绮.工科数学分析教程（上）[M].北京：机械工业出版社，2007.