Schmidt标准正交化方法的推广

摘  要：传统的Schmidt标准正交化方法是计算向量组生成空间标准正交基的有效方法，但只适用于线性无关向量组生成空间标准正交基的计算。基于这种情形，该文给出了Schmidt标准正交化方法的一种改进形式，不需要寻找向量组的极大线性无关组，就能消除向量线性相关性对其生成空间标准正交基计算过程的影响，可用于求任意有限个向量生成空间的标准正交基计算，并做出了严格证明。

关键词：正交基  线性相关  生成空间

中图分类号：O151                                   文献标识码：A                        文章编号：1672-3791（2019）03（b）-0056-02

向量空间中标准正交基有其重要意义，在理论研究和工程计算中都有重要的应用。通常意义下的Schmidt标准正交化方法[1]如下：设a1，a2，...，an线性无关向量组，

上述的方法都是在a1，a2，...，an线性无关的条件下进行讨论的，但是，若没有线性无关这个条件，上述的这些方法都有一定限制，此时的一般思路是先求极大无关组，然后再对极大无关组进行标准正交化，这样计算量就有所增加，且不利于计算机的实现。该文给出了一般向量组的生成空间标准正交基的求法，并且给出了理论证明，继承了Schmidt标准正交化方法的逻辑关系清晰，易于计算机实现的优点。

3  结语

Schmidt标准正交化是线性代数中一个重要方法，并且实际的应用也十分广泛，传统的Schmidt标准正交化方法局限于线性空间生成向量组的线性无关性限制，為实际的应用带来了许多麻烦，主要体现在线性相关向量组在使用该方法时会出现分母为零的情形。该文基于这种考虑，给出了舍去正交过程中的零向量，取重新得到新正交向量组作为生成空间基的方法，有效消除了分母为零的影响，并给出了这种方法正确性的严格证明。

参考文献

[1] 北京大学数学系.高等代数[M].3版.北京：北京大学出版社，2003.

[2] 刘东.欧氏空间子空间的标准正交基求法改进[J].科技通报，1994（2）：117-119.

[3] 严家森.正交化向量组的矩阵方法[J].西华师范大学学报：自然科学版，1996（4）：41-44.

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[6] 门永江，任化民.Schmidt正交化方法的改进[J].大学数学，1993（4）：15-18.

[7] 苏燕玲，张瑞平.由施密特正交化法所得到的两个结论[J].陕西师范大学学报：自然科学版，1999（S1）：1-4.

[8] 同济大学数学系.工程数学：线性代数[M].北京：高等教育出版社，2014.

①基金项目：广东理工学院质量工程项目（项目编号：JXTD2017001）。

作者简介：高德超（1988—），男，河南周口人，硕士，从事微分几何研究和高等数学教学研究。