应用技术类本科《复变函数》教学的几点探讨

2019-06-17崔汉哲上海电机学院

消费导刊 2019年21期

崔汉哲上海电机学院

一、引言

复变函数作为高等数学中分析学的重要组成部分，和几何、拓扑、数学物理等其它数学分支有非常紧密的联系。作为数学工具，它在物理、自动化、系统分析、信号处理等学科与领域中也有广泛而重要的应用。因此，它是我国各类高校理工科专业的一门重要的专业基础课。而我国的高等教育经过数十年的大发展后，已形成了梯度式不同层次的高校队伍。其中，应用技术类本科院校在校学生人数多、分布范围广。在这类院校中如何结合自身特点，教好复变函数这门课程，是一个很有实际意义的课题。

二、以应用技术类为特点合理安排课堂教学的重点

应用技术类本科院校有别于综合性大学或师范类院校，所设置学科专业多偏重实践和应用。而《复变函数》作为各理工科专业的专业基础课，其主要目的也在于为学生在《微积分》、《线性代数》等公共基础课后，提供进一步专业学习的数学工具。这就决定了，在应用技术类本科《复变函数》的教学中，在学生掌握基本的复变函数理论后，要将教学重点放在如何将理论应用于专业学科的实践中。具体而言，对那些在后续的专业课程中经常用到的定理、公式、方法，教师应作为教学重点，多举实例、讲细讲透。而对于那些理论上比较重要，但在各自专业的具体实践中未必发挥太大实际作用的内容，为数学理论的完整性起见，确需完整讲述，但其中的某些技术细节，则未必需要在课堂上详细推导，而可作为学有余力学生的课外自学内容。

例如，留数定理在电气自动化、电子信息等学科的专业课程如《积分变换》、《信号与系统分析》中起着重要作用，是计算各类积分逆变换的主要方法。而留数定理以复变函数的级数理论为基础。为了应用留数定理，学生必须会将复变函数在特定的圆环域中展开为洛朗级数。由此出发，教师课堂教学的重点就可放在如何将各种常见的复变函数在不同的圆环域中展开为洛朗级数，以及各种情况下求复变函数孤立奇点的留数以计算积分。而对于级数理论的建构过程，总体上做完整的描述即可，某些学生在专业课中并不经常用到的技术细节未必需要过多深入——例如用复变函数积分表示洛朗级数的系数公式的证明等等——这样可使课堂教学突出重点，避免过于枝蔓。

又如作为解析函数理论基石的柯西黎曼方程，也即函数可导的充要条件。课堂教学的重点就应该放在如何用其判断具体函数的可导情况与解析情况。教师应多举具体实例，使得学生熟练掌握不同情况下该条件的应用方法。对于该充要条件的详细证明过程，课堂上未必需要完整讲述。而可以选择其中重要的部分，例如条件必要性的证明即何以会出现柯西黎曼方程的两个恒等式，使学生能知其然且知其所以然。

三、紧密联系本课程与先修课程的内容

复变函数的先修课程主要是《微积分》。《微积分》的内容是实变函数的初等微积分，而《复变函数》“主要讨论复数域的微积分”[1]。《复变函数》中不仅会直接用到《微积分》的大量结论和方法，而且它的很多内容是《微积分》的进一步推广与深化。这就要求教师在课堂教学中多将本课程的教学内容与《微积分》相联系，以利于学生更好领会复变函数的思想、掌握复变函数课程的方法。

以复变函数的连续概念为例。它形式上和《微积分》中完全一样，是用“函数的极限等于相应的具体函数值”来定义的。但何以称满足此条件的函数为“连续”呢？《微积分》中对此有完满的回答——满足此条件的一元实变函数的图像即其所表示的曲线是连续不间断的，满足此条件的二元实变函数的图像即其表示的曲面是连续不间断的，等等。但在《复变函数》中，所有这些明显的几何意义都消失了。原因是复变函数的图像并不能用曲线或曲面来表示。所以教师在讲述连续概念时，最好先从复习实变函数的相应内容入手，以使学生对其先有直观的几何印象，易于接受和理解。

再以复变函数积分的定义为例。它是实变函数积分的直接推广，都是通过四步骤“分割积分区域、近似作积、求和、取极限”而得的。在《微积分》中，积分有明显的实际含义——一元实变函数的定积分表示曲边梯形的面积，二元实变函数的重积分表示曲顶柱体的体积或平面薄片的质量，曲线曲面积分更是有着非常多的物理意义。而复变函数的积分以定积分为特殊情形，形式上与其近似，但几何意义与物理意义却并不明显。所以教师在课堂上引入复变函数积分定义之前，最好先复习定积分的定义并说明其具体意义。否则直接讲述复变函数的积分，学生一上来就面对冗长的定义过程和抽象的算式，很可能会陷入不知所云的境地而失去进一步学习的兴趣。教学效果可能也会大打折扣。

《复变函数》的内容是《微积分》的深化与推广。某些具体问题在《微积分》课程中未必能够讲得完全清楚，而在《复变函数》中则能得到完全的解决或是更清晰透彻的解释。在这些场合，教师可以向学生展示复变函数的威力，从而激发学生的学习兴趣，达到良好的教学效果。