基于m-Capon的多阵列直接定位算法*

谭智文，骆吉安，左 燕

（杭州电子科技大学自动化学院，杭州 310018）

0 引言

通过多个阵列接收未知辐射源信号并确定其位置的无源定位技术在雷达、声纳、通信等领域受到了广泛的关注和研究［1-6］。在传统的多阵列测向定位技术中，通常采用测角交叉二次定位方法［7-8］，即利用多个阵列的阵元对辐射源的波达信号（DOA）进行数字采样并估计其DOA值，将DOA值传输至融合中心建立相应的数学模型实现交叉定位，然而这种定位技术存在着显著的缺陷，即存在着低信噪比情况下定位精度不高和多目标情况下定位模糊等问题。针对上述问题，Weiss等人考虑到接收信号来自于同一辐射源这一空间关联特性，提出了一种直接利用数字采样数据的直接定位方法［9-11］（DPD），该方法相比二次定位方法的特点是无需参数估计，避免了参数估计带来的信息损失，因而在低信噪比下能有更好的定位性能。同时在DPD方法的启示下，罗景青等人提出了同样无需参数估计的目标信息场定位方法［12-14］（PIF）；直接定位方法技术在分布式相控阵列的应用上，唐硕和尤丹丹分别提出了基于旋转不变子空间（ESPRIT）和多重信号分类（Music）的目标直接定位方法［15-16］。ESPRIT和Music算法是空间谱估计理论中两种经典的子空间类DOA估计算法，该类算法在确定噪声子空间和两个子阵之间的特征值时，都必须以预知或判定目标个数为前提，因而在低信噪比下ESPRIT和Music算法的定位性能会受到信噪比的极大影响，即目标个数估计算法的正确率会随着信噪比的下降而下降。

针对上述问题，本文在未知信源数的参数估计算法的启示下［17-18］，提出了基于m-Capon的多阵列直接定位算法，该算法在Capon算法和Music算法的基础上，通过近似逼近的方法得到Music算法中的代价函数，有效地避免了因目标个数预知和预判错误，导致Music等算法不能正确获得其代价函数的问题，同时相对于Capon算法改善了其在低信噪比的条件下定位性能不足的问题。在定位结果求解问题上，本文考虑首先利用经典的网格法建立网格化的空间谱值矩阵，然后对网格化的空间谱值矩阵进行向量化处理，并且利用爬山算法提取其中的波峰作为目标位置的定位结果，与此同时也得到了目标个数即为所提取的波峰个数。

1 多阵列信号模型及算法分析

1.1 多阵列信号模型

考虑由M个阵列，每个阵列由N个接收阵元组成的多阵列联合定位系统，如图1所示。假阵列结点的位置已知，记第i个未知目标的位置为，第m个阵列的第1个阵元位置为针对远场第k个方位的目标，则第m个阵列的N个接收阵元接收到的信号可以表示为：

图1 多阵列联合定位示意图

式中，sm，k，l表示第l时刻从远场入射到第m个阵列的第k个窄带辐射源信号，其中为阵列流形矢量，为第m个阵列的噪声矩阵，θm，k为第k个窄带辐射源信号相对于第m个阵列的方位角。其表达式如下：

将式（1）简化为：

再令

将所有阵列的接收数据写为矢量形式为：

对第m个阵列的接收数据进行特征值分解可得：

实际上真实的协方差矩阵Rm是未知的，利用L次快拍采样数据对协方差进行估计可得：

式（11）中，（·）H表示共轭转置。

1.2 CRLB分析

假设不同阵列之间的量测相互独立，同一阵列各阵元的测量相互独立，且噪声功率相似为a2。在该假设条件下，类似于文献［18］的计算方法，可得：

1.3 目标定位算法

Music算法和Capon算法是空间谱估计中两种各具优势的典型波达方向估计算法。从算法的简易性上来说，Music算法是以预判或预知信号源个数为前提，而Capon算法则不需要以预判或预知信号源个数；从估计精度上来说，在低信噪比条件下，Capon算法的性能往往不如Music算法。利用目标位置估计代替DOA参数估计，更能体现出多阵列对未知目标直接定位的特点。下面分别对2种算法进行介绍。

1.3.1 Music定位算法

基于子空间投影的原理，Music定位算法的空间谱函数为：

显然可知，空间谱函数的极大值点即为目标位置估计为：

式（13）近似表示阵列的接收导向矢量与噪声子空间之间的距离，故会在各阵列的真实目标方位的附近产生峰值，通过多个阵列峰值的汇集形成极大值点，从而实现超分辨地对未知目标定位。但是，实际中该算法的性能会受到两方面的影响，一方面是协方差估计的准确性依赖于快拍采样数据的次数；另一方面该算法的实现必须预判或预知目标个数作为前提，若目标数目估计错误会使相应的阵列不能得到有效的噪声子空间，进而导致算法定位失效。

1.3.2 Capon定位算法

以最小方差准则为优化准则，Capon定位算法的空间谱函数为：

同样地，目标位置估计为：

2 基于m-Capon的目标定位算法

由上面的分析可以看出，在有限快拍数的条件下，基于子空间类的目标定位算法性能会随着信号源个数估计正确率的降低而降低，即信噪比的降低而降低。为了提高目标定位算法性能，避免对目标个数的估计，本文考虑在Music及Capon算法原理的基础上，给出一种通过近似噪声子空间和噪声子空间共轭转置积的m-Capon目标定位算法。

2.1 m-Capon定位算法

对于协方差矩阵可以分解表示为：

将式（17）进一步推导，可得：

通过式（19）可以得到一个无需预判或预知目标个数进行特征值分解得到噪声子空间和噪声子空间共轭转置积的近似方法。式（19）表明，当m→∞时才收敛到噪声子空间，实际应用中，m只要取有限的整数，就可以达到很好的性能。利用式（19），将式（13）的空间谱函数改写为：

目标位置估计为：

2.2 m-Capon定位解算方法

由于目标个数是未知的，因此，对式（21）的求解包括了未知目标个数和位置的解算两个部分。在传统的定位算法中，可以根据已知的目标个数信息进行自由选择解算方法，在单目标情况下，可以选用粒子群算法（PSO）进行解算，以降低算法复杂度；在多目标情况下，则需要对探测空间的空间谱进行建立，然后提取其中的谱峰。本文考虑首先设定探测空间搜索步长得到网格化的探测空间谱，接着将空间谱进行向量化处理并设定子集进行边缘提取，最后由爬山搜索算法对其峰值进行提取作为目标个数和目标位置的估计。

对探测空间V设定横纵坐标等距划分维数Nx、Ny得到网格化的探测空间集合为：

将探测空间V由式（22）计算对应的空间谱图像为：

将式（23）向量化处理可得：

记ei为e的第i个元素，，然后设定分割子集数l，求得曲线边缘矢量ε，计算公式为：

综上所述，基于m-Capon的多阵列被动目标直接定位算法流程如下：

3）设定网格步长 Step，由 F（x，y）计算其函数值，并向量化后的e；

4）设定分割子集数l，由式（25）对向量化后的e的边沿曲线进行提取；

5）对第4步所得结果，由式（26）进行求解，得到目标的位置和个数估计。

3 仿真实验

3.1 单目标仿真

为了对比本文所提算法与经典Music算法之间的性能，不考虑目标个数估计的错误对Music算法的影响，Music算法的目标个数均为已知的情况下进行仿真。目标定位结果的解算方法均采用本文所提的m-Capon定位解算方法进行解算，以下不再重述。仿真环境：多阵列联合定位系统由位置分别位于：s1=［0 km，0 km］T、s2=［10 km，0 km］T、s3=［0 km，10 km］T的3个阵列构成；未知目标位置为p1=［16 km，15 km］T，阵列接收阵元个数均为7，阵元之间的间隔设置为0.03 m，采样次数L=2 000，信号载频fc=1 GHz；信号类型为线性调频信号；分割子集数l=100；转移状态的范围η=3；探测空间V范围为：x轴15 km～25 km，y轴10 km～20 km；本文算法中的m设置为10；网格步长step=50 m；绘制仿真结果如下页图2所示。

图2（a）表示了信噪比为：-5 dB 时，m-Capon 算法单目标网格化探测空间谱图像，从图2（a）可以看出，m-Capon算法通过近似噪声子空间的方式能对目标有效地进行定位；下面考察平均均方根误差（Root Mean Square Errot，RMSE）与信噪比之间的关系。仿真结果由50次蒙特卡罗仿真平均获得，RMSE误差曲线与信噪比关系如图2（b）所示，可以看出3种算法的估计偏差大致相同；当信噪比高于-10 dB时，3种算法的RMSE趋于稳定且逼近于CRLB下界，同时从图2（b）中可以看到，在信噪比高于-10 dB情况下，3种算法的定位误差均收敛于50 m，因此，可以根据自己的精度需求设置相应的网格步长。

图2 单个目标定位仿真结果图

3.2 多目标仿真

图3 两个目标定位仿真结果图

表1 本文所提解算方法和传统解算方法运行时间比较

仿真环境：未知目标位置为 p1=［20 km，15 km］T，p2=［16km，16km］T；其他参数设置不变。仿真结果如图3（a）～ 图3（d）所示，图3（a）表示信噪比为：-5 dB时，m-Capon算法两个目标空间谱图像，从图中可以看出，m-Capon算法能够定位多个目标。图3（b）表示50次蒙特卡罗后的平均RMSE误差曲线，从图中可以看出，Music算法和m-Capon算法定位误差大致相同，Capon算法误差最大；当信噪比大于-10 dB时，Music算法和m-Capon算法定位误差开始渐进于CRLB，而Capon算法定位误差较大；在信噪比大于10 dB时，3种算法的定位误差逼近于CRLB。图3（c）表示3种算法估计目标个数与信噪比之间关系，从图中可以看出，当信噪比大于-10 dB时，Music算法和m-Capon算法的空间图像已能准确估计目标个数，而Capon算法需要信噪比大于2 dB才能准确估计目标个数，结合图3（b）对比可以发现，Capon算法与m-Capon算法相比，m-Capon算法收敛速度明显快于Capon算法。图3（d）表示了m-Capon算法中定位误差与m的取值之间的关系，从图3（d）中可以看出，即可满足定位精度的需要，通过对m取有限值即可达到很好的性能并且随着m值的增大，其取值为5～10即可满足定位精度的要求，m-Capon算法的定位性能逐步提高，同时也验证了式（19）的有效性。

3.3 时效分析

下面对本文所提解算方法与传统解算方法和量子粒子群解算方法的计算时间进行对比，PSO算法迭代次数设置为15次，网格步长100 m，其他参数均保持不变，计算机操作系统：Microsoft Windows 7 Ultimate；CPU：Intel（R）Core（TM）i3-2310M；内存：6.00 GB，MATLAB：2014b。经过 50 次蒙特卡罗实验后得到算法单次运行平均时间如表1所示，从表1可以看出，Capon和m-Capon算法在目标个数为1个或2个时，传统方法和本文方法的运行时间基本一致，且略快于Music算法；PSO算法需要较多的迭代次数，因此，单次运行平均时间耗时较高。综上所述，Capon算法与m-Capon算法相比，运行时间上大致相同，且略快于Music算法。

4 结论

本文针对Capon算法在低信噪比下性能不足的问题，提出一种无需目标个数的多阵列目标直接定位算法。该算法引入m-Capon的算法思想，结合了Capon算法和Music的优点，利用协方差逆的高阶幂方法近似逼近得到Music算法中的代价函数，然后利用经典网格搜索和爬山搜索算法分别对目标个数和位置进行求解。仿真结果表明，在低信噪比下，m-Capon算法性能渐进于Music算法且优于Capon算法；在高信噪比下，三算法的性能相当且接近克拉美罗下界。