应用归纳法确定“三位数乘两位数”的最大值

□ 钟家卫 朱挺红

人教版教材四年级上册第50页第12题是一道思考题：“用0，2，3，4，5组成三位数乘两位数的乘法算式，你能写出几个？你能写出乘积最大的算式吗？”解决这一问题有怎样的思路？又会有什么规律呢？利用怎样的策略让学生自主发现这一个规律呢？更进一步，在5个数字中出现相同的数字时，发现的规律是否同样适用呢？带着这些问题，笔者进行了教学实践研究。

一、尝试猜想，提出假设

教材第12题中5个数字里面出现了0，填在数的末尾在竖式计算时可以简便计算，这会影响规律的发现。同时，题目没有说明是否可以重复用某一个数字，容易产生歧义。因此，我们把题目改为：用1，2，3，5，6组成三位数和两位数的乘法算式，每个数字用且只用一次。这样的乘法算式可以写出许多个，猜一猜，乘积最大的算式可以是怎样的？

（一）直觉猜想，比较归类

提出问题后，学生会依据原有经验做出猜想。把大的数字填到最高位是学生应有的想法。由于初次尝试，会有不同的答案。如：（1）653×21，（2）631×52，（3）532×61，（4）521×63。教师板书以上几个算式。然后提问：黑板上已经有4个算式了，请你估一估，哪个算式一定不正确，为什么？

生：第1个算式一定是错的，把650估成700，21估成20，700×20=14000。另外的几个估算的结果都是30000。

师：说得有道理，那么后面的3个算式哪一个算式的积最大呢？

生：那要算一算。

生：我觉得只算这3个还不够，我写的算式不一样，但估算的积也是30000。

师：说得很棒，想一想，仔细观察估算的积是30000的3个算式，有什么共同点？在竖式中（如图1）填一填你发现的规律。

图1

学生独立填写后反馈交流，填出了如图2的两种情况。

图2

从个体猜想到集体反馈，用估算的策略构建起积最大值的两种基本模型。这是培养学生从纷繁复杂的数学现象中发现规律，构建数学模型的基本方法。

（二）枚举可能，分组计算

依据构建起的两种基本模型，进行有序思考，用枚举法补全所有可能的算式。按小组分工计算后，教师出示图3进行校对。

图3

同样是计算题，由于带着探究规律的目的，计算有了思考的价值，有利于激发学生的计算兴趣。

（三）观察分析，初步猜想

校对后，请学生比较积的大小，用图3中的虚框，圈出积最大的数，然后引导学生观察分析，积最大的两个因数有什么规律。

生：最大的数字填在两位数的十位上。

生：两位数是由最大的数字与第二小的数字组成的。

从猜想估算到枚举计算，从比较发现到提出假设，这是探究数学规律的基本步骤之一。教师在提供合理的学习材料的同时，要设计能够促进学生积极思考的问题，让问题探究成为一种内在的需要。

二、举例验证，发现规律

从一个例子中获得的结论，需要通过更多的例子进行验证，这是用归纳方法进行合情推理需要经历的过程。

（一）举例验证，积累经验

教师再次出示一组数据，提问：用1，3，5，7，8，同样要求组成积最大的“三位数乘两位数”算式，你能够直接找到吗？因为有前期探究的经验，大多数学生都认为是751×83。这时，教师质疑：一定是这个算式吗？如果要验证，那可以怎样做？

生：把所有的情况都列举出来，然后算一算，比一比，积谁最大？

生：不用全部举出来，只要模仿上面的例子，写出其中的6个算式，然后算一算，比一比。

学生列出其中的6个算式，然后与前面例子一样分组计算后校对（如图4），发现猜想是正确的。

图4

（二）小组举例，合作验证

通过两个例子的学习，学生已经初步确定这一个规律是正确的。但是，从科学严谨的角度看，应该举更多的例子进行验证，规律的正确性就会提高。因此，教师要求以小组为单位，首先任意选5个不同的数字，然后列举出同前面例子形式相同的6个算式，再分工计算，验证假设。

由于是带着探究的目的进行计算，学生在计算时更容易集中注意力，在分工合作的过程中相互帮助，互相指正。

（三）比较分析，发现规律

教师展示各小组选出的最大积的两个因数组成的竖式。然后引导学生再次观察，并用箭头把5个数按从大到小的顺序连一连（如图5）。学生发现有共同点后，教师要求学生在竖式模型（如图6）中连一连，得到图7。

图5

图6

图7

在寻找“积的最大值”的过程中，结合多种计算形式，通过比较归纳获得了求“积的最大值”的填写规律。在这样的过程中，学生学到的不仅仅是一个结论，更经历了探究数学规律的过程，培养了自己的数感。

三、变式练习，形成技能

填写“积的最大值”的规律在数据特点发生变化时是否可行？如果改为求“积的最小值”是否也有规律？基于这两点，教师进行了变式练习的设计与教学。

（一）当出现一个零时

书本原来的题目中，5个数字中有一个0，我们把这类问题称为其中的一种变式。教师出示问题：把0，2，3，4，5组成一个三位数与两位数，每个数字只能够用一次。要使积最大，算式是（ ），最大的积是多少？

先请学生观察并说一说这组数据与前面列举的5个数字有什么不同的地方，原来的规律是否还成立。学生在小组内枚举可能的算式，分工合作完成，发现原来的规律仍然可用。

这一类情况如果在前面一个教学环节——小组举例时已经出现，那么可以在之前学习时讨论总结。

（二）当出现重复数字时

5个数字中如果出现两个数字相同时，原来的规律是否也成立呢？教师出示两组数字，第一组是5，2，2，1，6；第二组是0，0，7，6，9。请学生先判断，找出自己认为积最大的算式。以小组为单位验证其中的一组，完成后汇报。验证后发现，原来的规律还是成立的。验证的过程，是计算练习的过程，也是培养学生逻辑思维的过程。

（三）求“积最小值”的算式

如果把寻找“积最大”的三位数乘两位数改为“积最小”的三位数乘两位数，是否也有一定的规律呢？能用前面的学习活动经验来解决这一问题吗？

教师出示题目：用5，6，7，8，9组成三位数和两位数的乘法算式，每个数字只用一次。猜一猜，乘积最小的算式是怎样的？

师：这个问题与前面研究的问题有什么不一样的地方？

生：现在积要求是最小的。

师：根据前面的经验，这个三位数乘两位数可能是哪两种竖式的形式？

图8

图9

图10

图11

依据学生的回答总结出如图8两种形式，接着分别填出6种可能（如图9），并请学生猜一猜哪一个竖式的积会最小。然后分工计算并找到积最小的算式，最后标出5个数从小到大的排列规律（如图10）。在以上活动的基础上形成猜想（如图11）。为了验证猜想是否正确，再让学生举例验证，总结出规律。总之，当计算练习转化成规律探究，可以让原本枯燥的计算变成有趣的猜想验证。在这样的过程中，得出规律并不是主要的目的，重要的是探究的过程。因此，教师要精心设计活动环节，提出问题、发现问题、分析问题与解决问题有序展开，并能主动回顾提炼问题解决问题的过程，获得数学活动经验，应用于类似的数学探究之中。