基于分层贝叶斯模型的损失准备金估计

章溢 刘志强 邹思思 温利民

摘要：传统的准备金模型主要是通过加总个体数据得到聚合损失三角形数据建立的，然而，这种数据的加总对原始个体数据产生不可避免的信息浪费.虽然这种方法简单，但可导致准备金估计的较大偏差.近年来提出的个体数据准备金模型中大都没有考虑保单合同之间的相依性.本文假设相同事故年的保单产生的索赔具有某种共同效应导致的相依情形，通过建立个体数据准备金的分层贝叶斯模型，利用信度理论的思想，得到每个事故年的准备金估计，从而得到总准备金的估计.进而，讨论了发展因子和结构参数的估计及其相应的统计性质.最后，给出数值例子表明本文给出的准备金估计的计算方法，并且比较了个体数据和聚合数据下准备金估计的均方误差.

关键词：损失准备金;共同效应;个体损失数据;信度估计

中图分类号：0157.5 文献标志码：A DOI：10.3969/j.issn.1000-5641.2019.01.002

0引言

损失准备金是指保险人为未来可能的索赔导致的损失所提取出来的金额.充足的准备金是保证保险公司业务稳定的前提.准备金的估计和提取是保险公司中最为重要的一项工作.

准备金估计最常用的方法是所谓的链梯法，或B-F法等.这些方法估计未来准备金的基础是损失三角形数据.注意到损失三角形数据是精算师为了准备金估计的方便对以往所有保单的索赔数据进行加工整理而得到的.由于链梯法有现成的计算规则，计算简单且操作方便，更加易于理解，因此在保险公司中得到广泛运用，理论上也进行了大量的研究.然而，在损失三角形数据的形成过程中，数据的加总容易损失保单个体索赔的信息，从而导致准备金估计出现较大的偏差.另外，加总后的损失三角形也无法再恢复原始的索赔信息.因此，有研究者提出利用个体索赔数据的原始信息直接估计准备金，最后对准备金进行加总得到总准备金.为了和链梯法相区分，我们常常把链梯法中运用的损失三角形称为聚合数据模型，而后者称为个体数据模型.近年来，个体数据的责任准备金模型得到充分的发展，也积累了大量的文献，例如俞雪梨和温利民利用个体数据模型研究了已报未决赔款准备金的线性估计，Zhao等人建立了个体数据的半参数预测模型，Zhao和Zhou建立了个体索赔的Copula模型等.

由于个体保单的原始数据较为复杂，特别是保单之间常常呈现相依性.以往的个体数据责任准备金模型中常常假设个体保单之间的索赔是相互独立的.然而，这种独立性假设与实际的复杂风险模型是不相符的.在非寿险精算中，已有许多文献建立了风险相依模型，相关的研究可参考文献[9-11]等.本文将考虑风险相依中责任准备金的估计问题.

由于风险的非齐次性，每个保单的索赔都依赖于保单本身的风险特征.在非寿险精算中，常常用随机变量θ来刻画该保单的风险特征，称之为风险参数.因而责任准备金模型的统计推断就落入了贝叶斯框架.假设各个保单之间由于某种共同效应的影响和呈现相依结构，且这种共同效应因子本身也是随机变量，则具有共同效应相依的风险模型恰好是贝叶斯统计中的分层贝叶斯模型，可参考文献[12-13].为了使得准备金的估计不依赖于风险参数和共同效应的先验分布，本文将利用信度理论的思想，将责任准备金的估计限定在所有个体损失的线性函数中.在平方损失函数下，最小化期望损失得到最小求解责任准备金的最优估计.

本文主要研究分层相依风险模型中责任准备金的估计.为了充分使用样本信息，我们对个体风险的索赔进行模型假設，利用信度理论的方法避开先验分布的选取，从而得到的准备金估计只需要先验分布的前两阶矩，最后利用经验贝叶斯方法提出了结构参数的估计方法，最终的责任准备金估计仅仅依赖于样本数据，可以在实际中直接使用.后面的章节安排如下：第1节给出分层贝叶斯模型的假设和符号;第2节给出准备金的信度估计，并讨论估计的统计性质;第3节研究信度估计中的结构参数和索赔方式的估计问题;最后一节给出数值模拟，比较本文的估计与链梯法估计的均方误差.

显然，在均方误差的意义下，信度估计比链梯估计更优.更重要的是，利用个体数据能构造结构参数的估计，而聚合数据的加总过程已经损失了个体保单的方差信息，因而个体数据模型比聚合模型更具有优势.