基于儿童思维水平，使“图形的认识”由具体走向抽象

季宏伟

“图形的认识”是数学学科中重要的核心内容，是学习几何的基础，对培养学生的空间观念和想象力具有重要的教育价值。图形认识的本质是抽象。儿童的数学经验来自于生活，是具体的，把他们头脑中具体的对象与数学上抽象的图形建立联系便是图形认识的首要目标。然而，学生是成长中的个体，不同年龄阶段的儿童呈现出不同的思维发展水平。小学生的几何思维水平主要表现为三个层次。

层次1：直观化。主要表现是能够按照外观来识别和操作物体的形状和几何图形，在心理上把图形表示为直观图像，不能说出图形的简单性质，但能把一个图形与另一个图形相区别。

层次2：描述/分析。主要表现是能够通过图形的性质来识别图形。但无法解释图形某些性质之间的关联。

层次3：抽象/关联。主要表现是能够建立图形和图形性质之间的关系，能作一些非正式的说明但还不能作系统的证明。

下面就以苏教版教材中两次“三角形的认识”为例，谈谈对教学内容的认识以及如何基于儿童的心理逐步实现图形的抽象过程，发展学生的空间观念。

一、两次“三角形的认识”的教材内容解读

通过上面的论述，我们不难理解：小学阶段对三角形的认识要实现数学思维上的抽象不能“一步到位”，需要分学段循序渐进。

1.初认三角形，从三维走向二维

史宁中教授认为，在三维空间更容易认识二维平面，在二维平面更容易认识一维直线……。一年级下册，教材安排“三角形”初次登场便是从学生已经认识的三维物体“三棱柱”上剥离下来。此时学生对三角形的认识处于“直观化”的水平。《数学课程标准（2011版）》对这一学段提出的要求是“能辨认长方形、正方形、三角形、圆”等简单图形”（直观辨认）“会用长方形……和三角形拼图”（简单应用）“能对简单图形进行分类”（直观辨识特征）。因此这一阶段的教学目标是学生能根据图形的外观来识别出三角形，在说到三角形时能在头脑中反映出相应的直观图像。

2.再认三角形，从感性走向理性

这一阶段学生对三角形的认识进入描述/分析阶段，有能力的学生可深入到第三层次抽象/关联阶段。教材首先呈现斜拉索桥的情境图，问“你能在图中找出三角形吗？”“生活中还有哪些地方能见到三角形？”这是唤醒第一学段学生对三角形的认识，是一种直观经验，称为“感性具体”。接着认识三角形的特征并对“三角形”这一几何概念作了描述性定义，这时学生开始把三角形作为抽象的数学图形进行研究。通过“试一试”的探索对定义提出“三点不共线”的补充说明，这是初步探索图形特征之间的关联。最后认识三角形的底和高。这一阶段重在提升学生对概念的理解，称为“理性具体”。

二、“三角形的认识”教学策略分析

1.概括“标准图形”，实现数学抽象

所谓“标准图形”是能够代表一类图形概念本质的图形，相对于“变式图形”而言，“标准图形”更能在生活中找到其原型，更具有典型性。在教学时，我们既要注意“标准图形”的概括过程，又要注意“变式图形”的呈现，以丰富概念内涵。在一次公开活动中，有位青年教师执教一年级下册《认识图形》，以下摘录“三角形的认识”的教学过程：

课始教师创设富有童趣的游戏情境：下雪了，小动物们在雪地里留下了美丽的脚印，有一群物体宝宝也想来玩。此时出示教具三棱柱，请小朋友在学具篮中也找出三棱柱。各种各样的三棱柱在雪地里留下的形状不同的“脚印”，它们都是什么图形？小朋友异口同声“三角形”。

师提问：“仔细观察这些三角形，用自己的话说说这些三角形长什么样？”

生1：三角形三边上都有尖尖的。

生2：三角形有三个角，还有三短横。

生3：它的边都是直的（与圆相比）

师：对啦，就像小朋友说的，像这样的图形就叫三角形。

此时，孩子眼中的三角形是具体的、整体的、直观的。如果把认知再往前推一步，可以在充分感知的基础上加以概括，呈现出“标准图形”，自然地将生活中具体的形状不同的三角形抽象到数学上的图形。

师：“虽然这些图形长得不一样，有的高，有的矮，有的胖，有的瘦，有的正，有的歪，但它们都是三角形，数学上可以用这样的图形来表示。”（如下图）

2.巧用多种表征，理解图形概念

布鲁纳提出认知表征的方式分为动作表征，即依靠动作来认识世界、获得知识；映像表征，即用头脑中的表象去表现世界、获得知识；符号表征，即运用符号、文字再现世界、获得知识。基于小学阶段学生的思维发展水平，图形概念若仅采用语言表征的方式则太过抽象，不容易被理解。教学时若能将动作表征与映像表征相结合，适当辅以语言描述，则能帮助学生建立丰富的图形表象，为将来的几何研究和空间观念的培养打好底色。

笔者在四下“认识三角形”的教学中作了如下实践研究，效果颇佳。师生欣赏完生活中的三角形后，教师提出问题和活动要求：“你心目中的三角形是怎样的呢？请你画下来。”生活中的三角形是一个具体的对象，学生要对具体的对象进行“再创造”，才能抽象为数学上要研究的平面图形。学生借助直尺画出了印象最深的一个三角形，教师提出：“说一说你是怎样画的？还有其它的画法吗？其它同学用手势跟着画。”此间展示多种画法，有按照一个方向有序连接的画法，有先确定三个点再依次连接的画法，或者先画出一条线段和线段外一点再分别连接的画法。虽然画的次序不同，但都用到“连点成线”的已有经验。把学生画三角形的过程用“慢镜头”回放，捕捉定格到“连点成线”的基本动作，在依次“连点成线”的动态操作中理解“首尾相接”，得出三角形有三个角、三条边、三个顶点等特征。最后教師让学生在头脑里再来画一遍三角形。闭上眼睛，眼前出现三个点，咱们一边画一边轻轻地说：先在两个点之间画一条线段，接着从其中一个端点出发，画出第二条线段，连接剩下两个点，这三条线段首尾相接围成一个三角形。笔者设计了“画一画”“说一说”“想一想”三个活动引导学生将动作表征、映象表征和语言表征联系起来，深化对三角形概念的理解。

3.打开想象空间，培养空间观念

大胆合理地开发教材资源，改变素材的呈现方式，作些创新和尝试，有时会收到“别有洞天”的意外效果。四下“认识三角形”教材安排了“试一试”（如图），意图是对上述描述性定义给出“三点不共线”的补充说明，使三角形的概念更为严谨。

我们不妨尝试改变素材的呈现，放开探究空间，变“静态点”为“動态点”，变“既有情况的判断发现”为“全开放式的尝试发现”。以下是教学片段：

师：是不是任意画三个点都能围成三角形呢？同桌先讨论讨论，再拿出方格纸试一试。（学生拿出空白的方格纸尝试）谁愿意第一个来分享？

生1：

这样摆放的三个点围不成三角形。

生2： 三个点这样摆也围不成三角形。

生3： 这样摆也不行。

师：三个点这样放怎么会围不成的？

生4：大家可以想像一下：这样摆，画出的三条线段就重合了。（边说边用手在磁性板上比划）

师：刚才同学们说：三点可以画出一个三角形，现在你有什么新的认识？

生齐：三个点不能在同一条直线上。

师：方格图上假如已有两个点（如图），带着你们的发现大胆地找一找第3个点的位置。你想把它摆在哪儿？想象这个三角形的样子。

师拿磁板下位，学生争先恐后地参与互动。从刚开始“拘束”地只敢摆出两点附近的锐角三角形，到后来大胆地探索新地盘，摆出不同位置的直角三角形和各种姿态的钝角三角形。随着点子的移动，学生不断地想象各种形状的三角形的样子，头脑中对三角形的表象越来越丰富多样，对三角形概念的认识也趋于深刻，空间观念的培养在动态的变化中得以渗透。

4.联结“前后概念”，整合认知结构

“从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。”如何将这一组抽象的概念域在学生头脑中自然地形成？除了选择适切的情境外，还需要借助“前概念”，帮助学生建立前后概念的联结，方能打通理解障碍，把知识结构整合起来加以运用。

情境：“猫和老鼠”片段中小老鼠搬奶酪进鼠洞。

提出问题：假如奶酪这样摆放，小老鼠可以顺利完好地推进洞里去吗？（出示模型，让孩子试一试）

生：推不进，因为三角形的最高点超过了洞口的高度。

几何画板演示：三角形上面这个最高点到它的对边能连出好多条线段，仔细比较这些线段，注意观察这些线段的长度。

你感觉哪一条可能是三角形的“高”？

生：我觉得那条垂直线段最特殊，是这些线段中唯一一条最短的，就是三角形的“高”。

师：学数学时有这样的感觉是很珍贵的。进一步观察，这条垂直线段从哪儿画到哪儿？

理解：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段就是三角形的高。这条对边就叫三角形的“底”。

师：这样的垂直线段你以前画过没？还记得是怎么画的吗？

生：在学习垂线时，我们画过。学生操作示范。

“过直线外一点，到已知直线的连线中，垂直线段最短”是四上已经学过的知识，通过几何画板的变化演示，唤醒学生已有知识，学生自然地产生“高好像就是那条垂直线段”的感觉，新旧知识得到了衔接和整合。 对学生来说，三角形的高就是自己思考后逐步找出来的，而不是老师直接给出的，学习就会变得有意思，有成就感，学生对高的理解也会更深刻。再往深入思考，高即“高线”，实则也是一条线段，其一个端点是三角形的顶点，另一个端点是高与对应底相交的垂足。作高其实就是连接两个点的事，只要找对顶点和对应的垂足，对应底边上的高就确定下来了，高和底的对应关系也可以从中体会到。

以上是以“三角形的认识”为载体进行的实践与探索。小学阶段还有如长、正方体，平行四边形，圆等图形的认识与三角形的认识属于同一个知识群，具有相通的学科本质和教学设计要素，需要教师全面分析学科本质，遵循学生的心理特点，设计有效的教学策略与方法，使学生真正参与到图形认识和抽象的过程，提升学生的抽象能力，提高教学质量。

（江苏省常熟市颜港小学）