高考解析几何化动态问题为“静态问题”

李倩 赵临龙

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）15-0137-01

解析几何是高中数学的重要内容，也是高考的重要“热”点。作为研究解析几何的重要工具——几何画板，给出解决解析几何问题的重要启示：那就是抓住运动和变化过程中几何对象的“基本图形的性质”，即定义和性质。

因此，解决中学解析几何动态问题的关键在于将动态问题转化为静态问题，本文以两个高中数学解析几何动态问题中所蕴含的“基本图形的性质”——定义和性质为例，体现定义、性质在解决解析几何动态问题中的重要性，以期引起学生和教师对几何对象的定义与性质的重视，达到深刻理解和灵活运用。

1.高中解析几何动态问题研究

1.1解析几何动态问题之高考体现

解析几何是高中数学的重要內容，动态问题以其知识点多、考查方式灵活，成为高考的重要“热”点。高考中的解析几何动态问题常表现为：（1）求曲线方程或动点的轨迹;（2）求参数范围问题;（3）求值域和最值问题;（4）求直线和圆锥曲线关系问题。

1.2解析几何动态问题的难点

解析几何的核心思想是用代数的方法来研究几何。最根本的做法是设法把平面图形的几何结构有系统的代数化和数量化。数形结合思想方法是贯穿于解析几何全部知识的核心数学思想方法[1]。解决解析几何动态问题的关键在于在“动”中找出所求的“静”，将动态问题转化为静态问题。

1.3几何画板在解析几何动态问题中的启发

作为研究解析几何的重要工具——几何画板，它以运动和变化过程中的“基本图形的性质”（定义、性质）为基础，并以轨迹和动画的形式，形象的展示“动态几何”的魅力和数学美的一面[2]，为学生进行探究性学习提供平台，对发展学生的创新思维具有重要作用，在学生运用几何画板进行学习时，最常用的就是几何对象的定义和性质，弄清某个对象的父对象和子对象，这一能力在分析解析几何动态问题时显的尤为重要。

2.例题分析

解决本题的关键是几个转化，一是，将三角形面积的取值范围根据已知条件转化为求圆上的动点到定直线的距离的最值;二是，将动点问题转化为静点问题，即将圆上的动点到定直线的距离的最值转化为具体的过圆心与定直线垂直的垂线与圆的交点。在第二次转化中就需要灵活的运用圆的定义。

在用代入法求点的轨迹方程时，从表面上看似乎没有用到定义与性质，但是实际上，正是由于定义和性质：某动点在曲线上，则该点的坐标满足它的方程，因此，我们才可以通过将所求的点的坐标转化为该动点的坐标，从而找出所求点的坐标所满足的方程，即动点的轨迹方程。也就是说定义和性质是代入法的根本。

3.小结

从本文的两个例子，可见在解析几何动态问题中，利用“基本图形的性质”将动态问题转化为静态问题是解题关键，也就是定义和性质是解决解析几何动态问题的根本。因此，在高中阶段的学习和练习中，我们要善于抓住几何对象的定义与性质，运用它们的几何关系不变性将问题进行合理转化，从而解决问题。

参考文献：

[1]朱大红.高中解析几何的学习障碍分析及对策研究[D].苏州大学，2015.

[2]汤志娜.几何画板中的绘图思想探析[J].数学学习与研究，2010（01）：9+11.

[3]2018年新课标三卷[E].百度文库.2018.6.17.

[4]2017年新课标二卷[E].百度文库.2017.6.15.