借助转化思想探究一道几何压轴题

齐欣

摘要：本文通过对2016年大庆中考数学一模试卷上的一个填空题进行研究，发现图中隐含着基本图形，进而发现图形中线段、角之间还可能存在一定的数量关系是解题的关键.

关键词：几何综合题;思路探究;转化思想

一道数学试题凝结了命题者的智慧，具有典型性、示范性，引导性.本文结合一道中考模拟题的思路探究，揭示数学问题是如何运用所学知识加以解决的，万变不离其宗，体会知识转化才是一切转化思想与方法的本源.九年级下中考复习时，2016年大庆中考数学一模试卷上的一道求线段长度填空压轴题难倒了一大批学生和教师.笔者研究发现，借助转化思想，抓住基本图形，从导角人手，是这类问题的重要突破口.

1 试题呈现

如图1，等腰△ABC中，AB =AC，tan∠B=3/4，BC= 30，点D为BC中点，射线DE⊥AC，垂足为点E.将△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为点A，点B的对应点为点B），射线AB分别交射线DA、DE于点M、N，且DM=DN.

（1）求证：∠ACB =2∠ACH;

（2）求线段DM的长.

2 思路分析

对于第（1）问，作B'K上HN，垂足为点K，则BK//AC.设CB交DM于点G，延长CA交DN的延长线于点F（如图2），借助平行线转移角，容易得到∠ACH= ∠HBK因此，只需证BN=BH，即证∠BHN=∠BNH.而由已知DM= DN，得∠B'NH= ∠DMN，因此只需证∠B'HN=∠DMN.因为∠B'HN是△FHC的外角，∠DMN是△BMG的外角，且∠A'B'C=∠ACB，所以转化为证∠DGC=∠CFE.由AB =AC，AD为中线，根据“三线合一”，可知∠GDC=90°，从而∠DGC+ ∠BCG= 90°.又∠CFE+∠ACF= 90°，从而只需证∠ACF=∠BCG，只需证∠ACB=∠ACB.结合旋转这一条件，这是显然的.

有了第（1）问的铺垫，对于第（2）问的思路探求，就柳暗花明，水到渠成了.如图3，作∠ACB的角平分线CP，交DE于点P，作PQ⊥BC，垂足为点Q.则由（1）知，∠DCP=∠PCE=∠ECH，PQ= PE= EH.而AD =15×3/4=45/4，DE=9，PQ： DP =4：5，所以EH=PE= PQ =4，DP =5，DQ =3，QC=12，HC= PC =4√10.

3 解后反思

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，注重识图、推理、运算等能力的考查，原题解答如下：

如图4，过點D作DH⊥A'M于点H交AC于点Q，过点Q作QP⊥AD于点P，过点C作CK⊥MA于点K，过点K作KL⊥CE于点L，KJ⊥DN于点J

对于原题的解法，主要是作5条垂线进行转化.怎么想到要添加这些辅助线？这对学生来说有一定难度，而这种解法运算繁杂也是一个难点.本文通过增设第（1）问，搭建脚手架，进而“运用所证的结论，问题迎刃而解[1]”.借助转化思想，达到了节省时间，化繁为简，化难为易的目的，可谓一举多得，事半功倍.

本文的转化思想体现在通过对问题层层深入地分析，不断转换视角，揭示基本图形、隐含条件、结论的内在联系，为寻找解题突破口找到方向，使解法更加自然，更具有一般性.

进一步，在习题课教学内容设计时，应设计富有挑战性的学习内容，以激发学生学习热情，还要善于启发学生学会借助数学的转化思想有效探寻解题的突破口[2]，让学生通过比较不同解法和不同思路的优缺点，在愉悦的学习氛围中获取知识;在循序渐进的、民主、平等、自由合作的探究过程中感悟数学思想，掌握一般方法.

参考文献：

[1]沈岳夫.解题善总结深研显模型——一类45°角与正切值关联的综合题解答探微[J].中学数学杂志，2017（02）：36- 38.

[2]孙道斌.加强习题课的设计有效提升教学效率——以“§4.3探索三角形全等的条件”习题课为例[J].中学数学杂志，2017（02）：27 -29.