带不等量电荷平行板电容器电压的计算

闫敬畏

(安徽省合肥市合肥一六八中学 230001)

在高中物理中，我们所接触的平行板电容器两极板上总是带有等量异种电荷.正因如此，在教学过程中老师们也会强调，电容的定义式C=Q/U中的Q指的是电容器任一极板电荷量的绝对值.然而，如果电容器的两极板上带有不等量电荷时，甚至是不等量同种电荷时，那么上式中的Q的值如何取呢？板间电压如何计算？接下来，我们对带不等量电荷平行板电容器上电荷的分布和板间电压问题进行探究，并给出解决方案和结论

一、问题提出

真的有带不等量电荷的平行板电容器吗？我们不妨这样假设，将一带电量为+8C的金属板A和一个本身就带有-2C的金属板B正对靠近，这样AB就组成了一个平行板电容器，如图1所示.电容器的电容与其是否带电、带什么性质的电荷、带多少电无关，它只取决于电容器本身的性质.那么，对于一个指定的电容器，两板间的电压就只与两板所带的电荷量有关，如果要计算上面电容器两板间电压，Q应当取哪个值呢？还是两者之和、之差或者是代数和的平均值呢？

二、对电容器上电荷分布的探究

我们知道，带等量异种电荷的平行板电容器上的电荷由于彼此的吸引都分布在电容器的内表面，正是内表面上的异种电荷激发出的电场才让两板间有了电势差.那么，不等量电荷会不会也全部分布在极板的内表面呢?显然，弄清楚这个问题是解决两板间电压如何计算的关键.

由大学物理相关的知识可知，无限大均匀带电金属薄板的两侧产生的电场是匀强电场，且由高斯定理可知，两侧电场的场强与金属板上所带的电荷量成正比.电容器极板虽不是无限大金属板，但由于两板靠的比较近，我们可以认为两板上电荷产生的电场在两板间的叠加仍为匀强电场，且在忽略边缘效应的前提下，任一极板产生的电场强度与电荷量成正比.

电容器的极板为金属板，在带上电后，两极板都处于静电平衡状态，所以两板内部的场强处处为零.这是由于两极板上的等量异种电荷在任一极板内部产生的电场等大反向，叠加后的场强为零，如图2所示.这也是为什么等量的电荷分布在两板内侧的另一种解释(可以证明，若电荷都分布在外侧、左侧或右侧都无法保证金属板内部场强相互抵消).如果不等量电荷也都分布在两板的内侧，显然无法保证金属板场强处处为零，这样电荷还会继续转移，直到达到静电平衡状态为止.也就是说，不等量的电荷应该分布在两板的内侧和外侧.

对于A板内部

对于B板内部

再由两极板上电荷守恒：

QA=q1+q2

QB=q3+q4

由以上四式可得

尽管我们一开始假设所有的电荷量均为正值，但由于QA、QB、q1、q2、q3、q4均包含着符号，因此计算的结果就是一般情况.由此可见，带不等量电荷的电容器上的电荷并不是全部分布在内侧，而是每块板内外都有电荷，且两板外侧带等量同种电荷，两板内侧带等量异种电荷.由于两板外侧带等量同种电荷，他们在两板间所形成的电场相互抵消，因此两板间的电场只是由内侧电荷产生的.所以，若电容器两板上带有不等量电荷，在求解两板间电压时，Q取既不是A板上的电荷量也不是B板上的电荷量，而是两板内侧所带的电荷量.

那么，由上面的计算结果，我们就可以得到带不等量电荷的电容器电压的计算式：

显然，等量异种电荷只是上述的一种特殊情况.