几种主要拓扑优化建模方法的分析对比及展望

王 曦 ，赵重年 ，李昊天 ，王 亮

（1．陆军军事交通学院研究生队，天津300161；2．陆军军事交通学院军事交通运输研究所，天津 300161）

1 概述

结构优化可分为尺寸优化（Size Optimization）、形状优化（Shape Optimization）和拓扑优化（Topology Optimization）三个层次[1]。其中，拓扑优化也称布局优化，是根据负载情况、约束条件（如应力、位移、频率和重量等）和性能指标（刚度、重量等），利用有限元分析和优化方法，使设计域达到最优材料布局的一种结构优化方法[2]。

工程中，结构优化设计的一般过程是按照从概念设计到详细设计的方式进行的，即通过分析约束条件，进行拓扑设计，确定出构件的大致形状，之后再根据具体的目标要求（如经济成本、空间布局、材料选取、工艺制造等要求）进行形状优化和尺寸优化等详细设计。三者可以建立在同一产品从论证分析到设计定型的一整套系统中，也可以作为单独的优化设计方法应用在已成型的某件产品中，进行优化改进。

根据设计对象，拓扑优化可分为离散结构和连续体结构两种[3]。由于连续体结构应用广泛，本文主要介绍几种常见的连续体结构拓扑优化方法。

2 连续体的拓扑优化的方法

结构的优化一般分为两个核心步骤，模型建立和数值求解。目前，用于求解模型的各数值方法已趋于成熟，本文不做介绍。

2.1 均匀化法

1988年，Bendsoe和 Kikuchi[4]针对连续体结构提出均匀化法，开创了连续体结构拓扑优化的新时代，其主要思想是在离散的设计域内用一种孔洞微结构代替原先的实体单元，并将描述孔洞的参数作为设计变量，以单元内孔洞大小描述材料有无，通过微结构的参数，来控制宏观结构在各个单元处的材料取舍，从而得到目标结构，实现优化[5]。

为了在设计变量与材料属性之间建立起可计算的数学关系，使结构的优化问题转化为基于设计变量取值的数学问题，人为构造一个材料与设计变量的关系式。

式中，a，b为微结构内矩形孔洞的尺寸参数，θ为描述孔洞位置的角度参数，R为关于角度变量的一个旋转矩阵，其具体推导过程读者可参考文献[6]。以最小柔度C（u）为目标函数的拓扑优化问题可表述为如下公式。

均匀化法发展最早，是连续体拓扑优化开创性的成果，由其求解过程可看出，均匀化法有着严谨的数学理论基础和良好的收敛性，物理意义明确，原理简单易懂。但也由于设计变量较多而造成计算过于繁琐，且计算结果中会出现中间密度单元等问题，不符合实际生产要求。然而，这并不影响均匀化法在拓扑优化中的重要地位，因为它能预测理论上的最佳性能结构[6]。目前，对比与其余方法一般只能优化单一材料结构的特点，均匀化法较多的应用于复合材料结构的优化。

2.2 变密度法

变密度法是根据均匀化法改进而来，由Sigmund[7]于1994年提出。其基本思想是定义一种密度可变的材料单元，并用这种单元代替均匀化法中的带孔微结构，设计变量仅为相对密度。将相对密度的取值定义在（0，1）区间内，则该问题转变为一个“0-1”问题：0代表孔洞，1代表实体。

为避免中间密度单元的出现，在建立人工材料与设计变量的关系时，要引入一个惩罚函数f（xi），如公式（3），使变量的中间取值向两端靠近。

式中，Ei表示每个单元的弹性模量，Emin表示所有单元中最小的弹性模量，E0为初始设计域的弹性模量。

目前，变密度法中应用最广泛的插值模型有两种：Sigmund等[8]提出的SIMP模型，如公式（4）和STOLPE等[9]提出的RAMP模型如公式（5）。两种模型通过引入惩罚系数，使得变量更快的逼近端点值。

变密度法在均匀化法基础上提出，是对均匀化法的简化，在继承了其数学理论严谨和物理意义明确等优点的同时，简化了设计变量和求解过程，易于编程实现。目前，许多商用优化软件基于变密度法开发出了单独的拓扑优化模块，比较著名的有美国Altair公司Hyperworks系列软件中的Optistruct和德国Fe-design公司的Tosca等，此外，根据设计者的优化需求，可以在大多数的有限元分析软件中基于变密度法设计适用的程序，实现拓扑优化。当前，对于变密度法的研究大多集中于奇异性结果的消除和惩罚函数的惩罚效果，相比而言是较为成熟也是应用最广泛的拓扑优化方法，已普遍应用于工程设计。

2.3 水平集法

水平集法由Sethian和Osher[10]在1988年首次提出，起初是用于研究曲线或曲面的边界运用问题。2000年，Sethian和Wiegmann[11]将水平集法应用于拓扑优化。其主要思想是用高维空间内的水平集函数来描述低维空间曲面，利用特定的速度场驱使高维空间曲面边界演化，通过求解水平集方程获得低维空间曲面的边界。

如图1所示，是二维问题的水平集面和其包含的边界结构及演化过程，三维图中，Φ（x）为水平集函数，则设计空间的各部分可通过水平集函数表示为

图1 水平集函数边界结构及演化过程示意图

综上可知，结构拓扑优化实际上是一个由目标函数和约束条件决定的、在速度场驱使下的水平集面运动过程[12]。假设以体积分数为约束函数，以最小柔度为目标函数，则优化模型可以表示为：

目标函数表示结构的应变能H（Φ）是Heaviside函数，又称为单位阶跃函数，用于控制结构单元的取舍。其具体推导与求解可参考文献[12]。

水平集法自提出以来就受到广大学者的重视，通过水平集法获得的非常清晰的结构边界，一定程度上将拓扑优化和形状优化合二为一，其概念设计和详细设计的融合极大地提高了设计效率，缩短了设计周期，其优势令人无法拒绝。尽管水平集法在拓扑优化领域获得了极大的成功，但其缺点也是明显的，在优化时需要设定额外约束，程序复杂，求解合适的速度场较为困难，计算效率不高。这些缺点导致该方法目前为止没能成功应用到生产实践中去，现阶段对于水平集法的研究重点主要集中于算法的优化改进，其应用研究也从一些简单的模型逐渐转向复杂的工程零件。

2.4 结构渐进法

1993年，澳大利亚华裔学者谢亿民[13]提出了结构渐进法，通过预先设置判断依据，并以此依据为基础删除结构的无效和低效单元，达到拓扑优化结构的目的。优化设计的判断依据可以是应力、结构柔度、系统固有频率等等。

以应力作为判断依据为例，先对结构进行有限元分析，然后依据设定公式对每个单元进行应力判定，如公式

满足则该单元属于低应力状态，应当从优化结构中删除，对结构重复进行此操作，直至无法满足上式，即认为当前结构已达到相对稳定。此时，引进另一参数进化率ER，依据一定规律对删除率进行更新，如公式

然后在新的删除率下重复上述步骤，直到结构满足最初设定的目标。

针对结构渐进法只能删除结构单元的缺陷，Querin等[14]在其基础上开发了双向结构渐进法，能够在优化中将误删多删的结构单元重新添加进来，并在谢亿民等人帮助下对结构渐进法的理论进行了完善。结构渐进法的设计变量简单明确，能够有效规避“0-1”问题中中间取值的求解困难，目前已大量应用于建筑行业的结构设计和优化。但是其在求解中不基于灵敏度分析，每一步迭代后都要进行一次有限元分析，得到最优结构的迭代步数远远高于其他优化方法，且算法的收敛性未能得到科学的证明，其方法的开创者——谢亿民等对其收敛性证明做了大量研究，在求解中逐渐引入灵敏度分析以更好的控制优化的计算效率和收敛性。但其算法的完善性和处理大规模问题的有效性仍有待于进一步发展。

3 总结与展望

拓扑优化方法发展自上世纪80年代兴起后，越来越受到工程设计人员的重视，如今已成为常用的工程设计方法，对其方法的深入研究和开发创新也从未间断。目前发展最为成熟，并已经应用到生产上的方法正如上文所列四种。

相比于其他的方法，无论从理论发展的角度还是工程应用的角度，变密度法都比其他方法更具优势，可以不夸张的说，任何一种方法在短时间内都难以超越变密度法。变密度法相比其他方法而言最大的优点是适用于不限形状的设计域，对于一些复杂形状设计域的普适性是目前其他拓扑优化方法所不具备的，这一点在实际的工业生产中尤其重要。并且，变密度法思路简单清晰，程序设计易于实现，这些适应于商业设计和生产的优点是其他方法所难以企及的。

除此之外，针对变密度法不能获取较为清晰边界的弱点在实际生产中可以忽略，这是因为，拓扑优化作为产品设计周期中的概念设计阶段，设计人员并不需要在这个阶段精确的定义零件的尺寸与边界，只需要确定产品的大致形状，再在后续的优化设计中完善即可。

在未来的探索中，拓扑优化应注重以下几个方向的发展：

（1）在现有方法的基础上，综合对比和分析各个方法的特点，吸收其他方法的优势以完善现有方法的合理性，寻求更加方便和高效的建模方法，完善拓扑优化模型建立的设计理论，提高模型的普适性，方便下一步的优化改进。

（2）深入研究当前各种数值计算方法，针对拓扑优化问题在后期面临大规模计算的弱点，优化计算程序，提高计算效率，以节省设计时间，缩短设计周期。

（3）软件开发方面，尽管现有的有限元软件都可以进行拓扑优化，但是对于单独的拓扑优化模块开发有限，且对于用户的软件使用要求较高，不适于拓扑优化的利用和推广，一定程度上迟滞了结构优化的发展。成熟而方便的拓扑优化软件对于工程设计有重大现实意义，应开发更加实用是软件，简化人机交互界面，简化设计流程，提高设计效率。