积分第一中值定理的推广研究

摘 要：伴随时代的不断发展，数学同样在快速进步。积分中值定理对于微积分的学习有着非常重要的作用。本文就积分第一中值定理的推广进行深入地研究。

关键词：积分第一中值定理；推广；应用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.13.197

1 积分第一中值定理

定理1 如果在上连续，那么至少有一点，使得：

证 因为在上连续，所以其有最小值与最大值。由：

运用积分不等式性质可得：

根据连续函数的介值性可知，至少有一点，使得：

定理2 如果在上连续，那么至少有一点，使得：

证 因为在上连续，繼而在上可积。将其原函数定位，那么按照存在定理便能够获悉，在上连续，同时在上可导，依据拉格朗日中值定理可知存在一点使得：

可得：

2 积分第一中值定理的推广

2.1 积分第一中值定理的改进

定理3 如果在上连续，那么至少有一点，使得：

成立。

证明：令，由于在上连续，因此在上连续，在内可导，同时可得，对在内由拉格朗日微分中值定理得：至少有一点，使得：

即

例1 若上连续，非负，严格单调减函数，证明：

证明：根据定3可得：

（2-1）

（2-2）

根据公式（2-1）、（2-2）两边乘以得：

由于，因此，又因在内连续，非负函数，

因此 。

2.2 推广的积分第一中值定理的改进

定理4 如果、在内连续，同时在内不变号，那么至少有一点，使得：

证明：假设满足，则：

（1） 在时，以上等式成立。

（2）在不恒等于0时，那么至少有一点，使得，由连续性知。

又因在内连续，进而必然存在着最小值与最大值，即：

进而 （2-3）

1）假设公式（2-3）中左边等号成立，也就是：

（2-4）

或者

在内连续，同时，那么在内便有。

由于不恒等于0，因此必然有一点，使得，即，那么在上至少有一点使。

依据公式（2-4）得。

2）假设（2-3）右边等号成立，同理也可证得结论成立。

3）假设（2-3）严格不等式成立， 即：

因为，则有：

由连续函数的介质性定理知在上至少存在一点使得：

或

因此能够证明定理2成立。

3 结论

综上所述，本文针对积分第一中值定理的定义、改进以及推广等进行了详细的研究，使得人们对积分第一中值定理有了大概的了解。

参考文献：

[1]郑权.积分第一中值定理中间点的一般渐近性质与求积公式[J].大学数学，2004（12）.

[2]杨雅迪.关于积分第一中值定理推广的探讨[J].科技信息，2010

（10）.

作者简介：黄瑞芳（1980-），女，河南新郑人，硕士研究生，讲师，研究方向：数学。