二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系

摘 要：通过证明或反例说明二元函数连续、偏导数，全微分之间的关系。

关键词：二元函数；连续；偏导数；全微分

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.12.202

對于一元函数来讲，连续、导数和微分之间的关系比较简单：可导与可微是等价的，可导一定连续，但连续不一定可导。但对于二元函数来讲，连续、偏导数和全微分之间的关系要相对复杂一些，本文通过证明或反例来说明三者之间的关系。

1 连续和偏导数之间的关系

1.1 已知偏导数存在，但不一定连续

例1 函数 在点处的两个偏导数都存在：

但是在点却不连续，事实上，令点沿趋向点，有：

1.2 已知连续，但偏导数不一定存在

例2 函数，显然：

故在点处连续，而由：

知不存在，所以在点处不是可偏导的。

2 偏导数和全微分之间的关系

2.1 若可微，则偏导数一定存在

证明：由于在点处可微，于是在点的某一邻域内有：

其中。

特别地，当时，上式变为：

在该式两端各除以，再令，则得：

从而偏导数存在，且；同样可证存在，且。

2.2 已知偏导数存在，但不一定可微

例3 函数 在点处的两个偏导数都存在：

但是在点却不可微，事实上：

令沿趋向，则：

这说明当时，并不是的高阶无穷小，所以在点处不可微。

3 连续和全微分之间的关系

3.1 若可微，则一定连续

证明：由于在点处可微，即有：

其中。

于是，

即有，

从而，

即在点处连续。

3.2 已知连续，但不一定可微

在例2中，函数在点处连续，在点处不是可偏导的。由偏导和可微之间的关系，知在点处不可微。

综上，二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系：函数在一点的连续性和函数在该点的偏导数的存在性之间没有任何关系；函数在一点的偏导数存在是函数在该点可微的一个必要非充分条件，函数在一点可微是函数在该点的偏导数存在的一个充分非必要条件；函数在一点连续是函数在该点可微的一个必要非充分条件，函数在一点可微是函数在该点连续的一个充分非必要条件。

参考文献：

[1]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分（下册）[M].大连理工大学出版社，2013.

[2]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分同步辅导[M].大连理工大学出版社，2013.

[3]同济大学数学教研室.高等数学（下册）[M].高等教育出版社，

1998.

作者简介：张宇红（1979-），女，辽宁锦州人，硕士研究生，教授，研究方向：数学。