用功率相等法巧解速度关联问题

牛红标

(保定市第一中学，河北 保定 071000)

绳、杆两端连接有不同物体时,在运动过程中,由于两端的物体运动方向不一定沿绳或杆的方向,所以两端物体的速度大小或方向往往不相同.高中阶段研究的绳都是不可伸长的,杆都是不可伸长和不可压缩的,即绳或杆是长度不会改变的理想化模型,当然其也不能储存或释放其他形式的能量,对两端关联的物体总是做功大小相等,一正一负,总功为0而实现一个物体的机械能向另一个物体转移,根据这个特点我们很容易知道,杆或绳对两个物体做功的功率大小一定是相等的,力的方向沿绳或杆,所以我们根据这个功率相等的规律可以得到绳或杆类关联的两个物体的速度关系.

1 定滑轮牵引模型

这个模型对初学者来说非常容易受到力的作用效果分解思想的影响而出错,但如果利用轻绳不可伸长,对两端物体做功相等,可轻松理解速度关系,进一步解决问题.

图1

例1.如图1所示,汽车以速度v0在水平路面上匀速行驶,通过绳子牵引质量为m重物P.若汽车从图中A点开到B点,H为已知.求:此过程中重物P增加的机械能.

解析：牵引重物的绳子不可伸长,对汽车做负功,对重物做正功,但功率大小相等,设绳上拉力大小F,在A、B两点重物P的速度分别为vPA和vPB.

在A点，FvPA=Fv0cos60°,所以,vPA=v0cos60°.

汽车由A到B的过程中,重物上升的高度

机械能增加量为ΔE=mgh+ΔEk.联立解得

图2

例2.光滑水平面上有A、B两个物体,通过一根跨过定滑轮的轻绳子相连,如图2所示,它们的质量分别为mA和mB.用水平力F拉着A向右沿水平面以速度v0匀速运动,当绳子与水平方向的夹角为θA=45°,θB=30°时,B物体的速度是多少?

点评:根据绳子两个端点的功率相等,可以轻松得到两端物体的速度关系.

2 动滑轮关联模型

对于和动滑轮相连接物体的运动与绳子端点的速度关系比较复杂,但如果抓住绳子做功过程为能量的转移,端点功率与对应对动滑轮物体做功功率相等,根据这个物理条件就能很快找出相关的速度关系.

图3

例3.如图3所示,一质量为m的物体位于光滑水平面上,通过滑轮在一根轻绳的作用下向右运动,已知轻绳C端以速度v匀速收绳,物体m一直在水平上前进,求当AO段的绳子与水平方向的夹角α由30°变化为60°时,拉力对物体所做的功?

解析:本题中,虽然绳子的C端匀速运动,但不能确定绳子上拉力的大小,也不能确定其位移的大小,题目中只给了绳端的速度,因此可以根据这个速度来得到这个过程中速度的变化.如前面两个例题,绳子在没有弹性的情况下,拉力在端点C处做功的功率与对物体做功的功率是相等的,而绳子上的拉力处处相等.

当α=30°时，Fv=Fv1+Fv1cos30°,

图4

例4.如图4所示,小环O和O′分别套在不动的竖直杆AB和A′B′上,一根不可伸长的绳子穿过环O′,绳的两端分别系在A′点和O环上,设环O′以恒定速度v向下运动,求当∠AOO′=α时,环O的速度.

解析:O、O′之间的速度关系与O、O′的位置有关,即与α角有关,但轻绳不可伸长,在两个环运动过程中,轻绳对两个环做功的功率大小相等.设绳上拉力大小为F.

对O，PO=FvOcosα，

对O′，PO′=Fv-Fvcosα，

两个功率相等FvOcosα=Fv-Fvcosα，

点评:当绳子中间有滑动物体时,同一根绳子对应有两个张力对其做功,注意其功的正负,绳子上没有能量储存及释放,所以一端为正功,一端为负功,但功率相等.

3 轻杆两端关联的物体

轻杆两端有物体时,由于轻杆可以转动,所以也有很多问题中两端在各自的接触面上运动,其速度大小及方向均不相等,但根据轻杆的作用力的特点,对两端的物体做功一定相等,即杆上的作用力的功率相等,可以很快找到两端物体的速度关系.

图5

图6

vBcosθ=vAsinθ,由题意可知θ=30°.

又AB组成的系统机械能守恒,

两式联立可得